Théorème de Pythagore : figure, propriété et démonstration.
Calculer une longueur ou prouver qu’un triangle est rectangle ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 12 activités corrigées et 2 repères de progression.
Théorème de Pythagore : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Théorème de Pythagore », retenez d’abord la règle qui relie « hypoténuse » à « carré ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « réciproque » sans sauter l’étape de vérification.
Calculer une longueur ou prouver qu’un triangle est rectangle.
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des autres côtés.
3² + 4² = 5²: le triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle.
Choisir l’hypoténuse d’après le dessin plutôt que l’angle droit.
- 01DONNÉEShypoténuse
- 02PROCÉDUREcarré
- 03CONTRÔLEréciproque
Le schéma sert de contrôle : partez de « hypoténuse », appliquez « carré », puis vérifiez avec « réciproque ».
Le carré de l’hypoténuse relie les deux côtés de l’angle droit : 6² + 8² = 10².
- 01Angle droit connu
- 02Théorème direct
- 03Calcul d’une longueur
- 01Trois longueurs connues
- 02Test de l’égalité
- 03Réciproque : nature du triangle
Les flèches indiquent l’ordre du raisonnement ; elles ne remplacent ni les hypothèses ni la justification.
Une réponse que l’on peut vérifier.
Une démonstration doit identifier la configuration, citer les hypothèses visibles dans « 3² + 4² = 5²: le triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle. », nommer la propriété utilisée et relier celle-ci à la conclusion. Une figure qui « semble vraie » ne constitue pas une preuve.
Ce que l’on peut conclure — et pas davantage.
La propriété ne s’applique que si toutes ses hypothèses sont établies. Le dessin peut guider la recherche, mais ses proportions, angles ou alignements apparents ne peuvent pas être utilisés comme données.
Identifier l’angle droit, nommer l’hypoténuse, écrire l’égalité puis contrôler la longueur.
Pour « Théorème de Pythagore », la méthode relie l’indice de départ, la règle utilisée, la réponse et un contrôle distinct.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et la longueur cherchée est positive ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « x² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 ; donc x = 12 cm » parce que quand l’hypoténuse est connue, le carré d’un côté de l’angle droit s’obtient par soustraction ; il applique ainsi la règle « Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des autres côtés ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « L’hypoténuse est le côté de 10 cm : c’est le plus long côté et il est opposé à l’angle droit » ; elle reste vérifiable puisque le choix vient de la position par rapport à l’angle droit, jamais de l’orientation du dessin.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Choisir l’hypoténuse d’après le dessin plutôt que l’angle droit » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés des autres côtés ».
Cas corrigé sur « Théorème de Pythagore » : question, réponse et contrôle.
Pour « Théorème de Pythagore », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Lire la consigne
Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 6 cm et 8 cm. Calculez l’hypoténuse.
Appliquer la règle
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ; donc c = 10 cm.
Vérifier la conclusion
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et la longueur cherchée est positive. La vérification conserve donc le même énoncé — « Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 6 cm et 8 cm. Calculez l’hypoténuse. » — jusqu’à la réponse « c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ; donc c = 10 cm ».
12 activités corrigées sur « Théorème de Pythagore » : appliquer, expliquer, transférer.
Dans « Théorème de Pythagore », les 12 activités passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Calculer une longueur ou prouver qu’un triangle est rectangle » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction.
Composition de la fiche « Théorème de Pythagore » : 8 cas à résoudre, 3 analyses guidées et 1 production à évaluer. Pour « Théorème de Pythagore », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Théorème de Pythagore », 3 activités ouvertes utilisent des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1RÉPONSE UNIQUEUn triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 6 cm et 8 cm. Calculez l’hypoténuse.
Indice : À partir de « 6 cm ; 8 cm », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Indice : pour le cas 1 de « Théorème de Pythagore », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et la longueur cherchée est positive.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · ANALYSER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEDans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 13 cm et un autre côté 5 cm. Calculez le troisième côté.
Indice : À partir de « 13 cm ; 5 cm », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Indice : pour le cas 2 de « Théorème de Pythagore », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Quand l’hypoténuse est connue, le carré d’un côté de l’angle droit s’obtient par soustraction.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEUn élève choisit le côté de 8 cm comme hypoténuse dans un triangle rectangle de côtés 6, 8 et 10 cm. Corrigez.
Indice : À partir de « 8 cm ; 6 ; 8 ; 10 cm », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Indice : pour le cas 3 de « Théorème de Pythagore », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
Le choix vient de la position par rapport à l’angle droit, jamais de l’orientation du dessin.
Continuer avec l’activité suivante →04CAS À RÉSOUDRE · JUSTIFIER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEUn triangle de côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm est-il rectangle ?
Indice : À partir de « 7 cm ; 24 cm ; 25 cm », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Le carré du plus long côté est comparé à la somme des carrés des deux autres.
Continuer avec l’activité suivante →05CAS À RÉSOUDRE · CONTRÔLER · NIVEAU 2CRITÈRES DE RÉUSSITEUn triangle de côtés 5 cm, 6 cm et 8 cm est-il rectangle ?
Indice : À partir de « 5 cm ; 6 cm ; 8 cm », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
L’inégalité suffit à écarter la réciproque du théorème de Pythagore.
Continuer avec l’activité suivante →06CAS À RÉSOUDRE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEUn rectangle mesure 9 cm sur 12 cm. Calculez la longueur de sa diagonale.
Indice : À partir de « 9 cm ; 12 cm », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
La diagonale et deux côtés du rectangle forment un triangle rectangle.
Continuer avec l’activité suivante →07CAS À RÉSOUDRE · DIAGNOSTIQUER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEUn triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit 6 cm et 8 cm. Calculez l’hypoténuse.
Indice : À partir de « 6 cm ; 8 cm », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation. Appuyez votre décision sur le verbe de consigne « Un ».
D’après Pythagore : c² = 6² + 8² = 100, donc c = 10. La longueur obtenue est bien la plus grande.
Continuer avec l’activité suivante →08CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLELes côtés d’un triangle mesurent 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ?
Indice : À partir de « 5 cm ; 12 cm ; 13 cm », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Le plus grand côté vaut 13 et 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² : la réciproque du théorème s’applique.
Continuer avec l’activité suivante →09ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLELes deux cas corrigés sur « Théorème de Pythagore » n’appellent pas la même décision. Pour chacun, indiquez ce qui est demandé et l’indice qui justifie la procédure.
Indice : À partir de « Théorème de Pythagore », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Comparez les deux démarches avant de vérifier la conclusion.
L’indice décisif est la nature de l’information connue : angle droit déjà établi dans le premier cas, trois longueurs à tester dans le second.
Continuer avec l’activité suivante →10ANALYSE GUIDÉE · SYNTHÉTISER · NIVEAU 3CORRIGÉ MODÈLEÀ partir des deux cas corrigés, formulez une règle qui indique quand choisir chaque procédure pour « Théorème de Pythagore ».
Indice : À partir de « Théorème de Pythagore », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Comparez les deux démarches avant de vérifier la conclusion. Appuyez votre décision sur le verbe de consigne « À ».
La nature de l’information fournie — angle droit ou trois longueurs — détermine la procédure ; les lettres et les valeurs propres à chaque triangle ne doivent jamais être mélangées.
Continuer avec l’activité suivante →11PRODUCTION À ÉVALUER · RÉINVESTIR · NIVEAU 3CORRIGÉ MODÈLEModifiez un seul élément décisif du premier cas sur « Théorème de Pythagore » afin que la réponse change. Donnez la nouvelle réponse et justifiez-la.
Indice : À partir de « Théorème de Pythagore », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Une seule longueur change ; le triangle reste déclaré rectangle et l’égalité des carrés contrôle la nouvelle réponse.
Continuer avec l’activité suivante →12ANALYSE GUIDÉE · ÉVALUER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEUn élève donne uniquement cette réponse : « Oui, il est rectangle. » Quelle preuve doit-il ajouter pour montrer qu’il maîtrise « Théorème de Pythagore » ?
Indice : À partir de « Oui, il est rectangle. », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Comparez les deux démarches avant de vérifier la conclusion.
Un résultat juste peut être obtenu au hasard. La maîtrise se voit dans une décision justifiée et un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Choisir l’hypoténuse d’après le dessin plutôt que l’angle droit.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « hypoténuse » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « carré », puis traitez une variante mobilisant « réciproque » sans regarder le modèle.
Quatre repères pour corriger sans impression générale.
Les quatre critères ci-dessous décrivent ce qui doit être observable dans une réponse consacrée à « Théorème de Pythagore ». Ils servent à commenter une production, pas à fabriquer une note automatique.
Hypothèses
Toutes les données nécessaires à la propriété sont explicitement établies.
Propriété
Le théorème ou la définition est utilisé dans le bon sens.
Conclusion
La conclusion répond à la question sans ajouter ce que la figure ne prouve pas.
Autonomie
La démarche reste correcte sur un cas différent de « 3² + 4² = 5²: le triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle. », sans recopier la correction.
« Théorème de Pythagore » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Théorème de Pythagore » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
4e
Dans « Théorème de Pythagore », rédiger une justification ou une démonstration structurée, puis tester la conclusion sur un cas voisin.
Voir le parcours 4e →3e
Dans « Théorème de Pythagore », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →La notion est-elle réellement disponible ?
Une bonne réponse isolée ne suffit pas.
- Je peux reformuler la règle utile pour « Théorème de Pythagore » sans reprendre les mots du guide.
- Je sais repérer « hypoténuse » ou « carré » dans un cas nouveau.
- J’explique pourquoi la fausse piste signalée ne convient pas.
- Je traite une variante et je contrôle la réponse avec « réciproque ».
Ce que les références établissent — et ce qu’elles n’établissent pas.
Cette distinction évite d’attribuer aux textes officiels les exemples, formulations et corrections produits par Exercices.com.
La référence listée ci-dessous cadre le programme, le niveau attendu et le vocabulaire de mathématiques.
La règle reformulée, le cas analysé, les exercices et leurs corrigés sont une production éditoriale d’Exercices.com ; ils ne sont pas des extraits des sources.
Une référence de cadrage ne constitue ni une certification ni une relecture externe de chaque correction. Toute erreur peut être signalée et tracée.