Appliquer le théorème de Thalès : figure, propriété et démonstration.
Vérifier parallélisme et alignements avant d’écrire les rapports correspondants, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 1 repère de progression.
Appliquer le théorème de Thalès : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Appliquer le théorème de Thalès », retenez d’abord la règle qui relie « parallèle » à « rapport ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « configuration » sans sauter l’étape de vérification.
Vérifier parallélisme et alignements avant d’écrire les rapports correspondants, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer.
Vérifier parallélisme et alignements avant d’écrire les rapports correspondants, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin.
Dans deux triangles en configuration de Thalès, les longueurs correspondantes sont proportionnelles.
Écrire des rapports dans des ordres différents.
- 01DONNÉESparallèle
- 02PROCÉDURErapport
- 03CONTRÔLEconfiguration
Le schéma sert de contrôle : partez de « parallèle », appliquez « rapport », puis vérifiez avec « configuration ».
Le parallélisme est l’hypothèse qui autorise la comparaison des longueurs homologues.
Résoudre « Appliquer le théorème de Thalès » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Appliquer le théorème de Thalès », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, le parallélisme autorise l’utilisation du théorème de Thalès ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « 4/10 = 6/BC, donc BC = 15 » parce que les côtés correspondants sont écrits dans le même ordre ; il applique ainsi la règle « Vérifier parallélisme et alignements avant d’écrire les rapports correspondants, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « Non » ; elle reste vérifiable puisque le parallélisme est une hypothèse indispensable du théorème.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Écrire des rapports dans des ordres différents » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Vérifier parallélisme et alignements avant d’écrire les rapports correspondants, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin ».
« Appliquer le théorème de Thalès » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Vérifier parallélisme et alignements avant d’écrire les rapports correspondants, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « Dans ABC, M appartient à [AB], N à [AC] et MN est parallèle à BC. Si AM = 3, AB = 5 et AC = 10, calculez AN. », la réponse est « AM/AB = AN/AC, donc 3/5 = AN/10 et AN = 6 » : Le parallélisme autorise l’utilisation du théorème de Thalès.
Le cas qui change la décision
Dans « Dans la même configuration, AM = 4, AB = 10 et MN = 6. Calculez BC. », on obtient « 4/10 = 6/BC, donc BC = 15 » : Les côtés correspondants sont écrits dans le même ordre.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « Peut-on appliquer Thalès si M et N sont sur deux côtés mais que MN n’est pas parallèle à BC ? » conduit à « Non » : Le parallélisme est une hypothèse indispensable du théorème. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Écrire des rapports dans des ordres différents ».
Cas corrigé sur « Appliquer le théorème de Thalès » : question, réponse et contrôle.
Pour « Appliquer le théorème de Thalès », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
Dans ABC, M appartient à [AB], N à [AC] et MN est parallèle à BC. Si AM = 3, AB = 5 et AC = 10, calculez AN.
Réponse
AM/AB = AN/AC, donc 3/5 = AN/10 et AN = 6.
Pourquoi cette réponse
Le parallélisme autorise l’utilisation du théorème de Thalès. La vérification conserve donc le même énoncé — « Dans ABC, M appartient à [AB], N à [AC] et MN est parallèle à BC. Si AM = 3, AB = 5 et AC = 10, calculez AN. » — jusqu’à la réponse « AM/AB = AN/AC, donc 3/5 = AN/10 et AN = 6 ».
Un cas voisin sur « Appliquer le théorème de Thalès ».
Ce cas applique « Appliquer le théorème de Thalès » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLEDans le triangle RST, U appartient à [RS], V à [RT] et UV est parallèle à ST. Si RU = 6, RS = 9 et RT = 12, calculez RV.
Indice : À partir de « 6 ; 9 ; 12 », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Afficher le corrigé
Les alignements et le parallélisme permettent d'écrire RU/RS = RV/RT, soit 6/9 = RV/12. Donc RV = 12 × 6 ÷ 9 = 8.
CONTRÔLE INDÉPENDANTLes rapports 6/9 et 8/12 se simplifient tous deux en 2/3, ce qui vérifie la proportion.
6 activités guidées sur « Appliquer le théorème de Thalès », après le cas autonome.
Dans « Appliquer le théorème de Thalès », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Vérifier parallélisme et alignements avant d’écrire les rapports correspondants, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Appliquer le théorème de Thalès », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Appliquer le théorème de Thalès » : 4 cas à résoudre, 2 analyses guidées et 1 diagnostic d’erreur. Pour « Appliquer le théorème de Thalès », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Appliquer le théorème de Thalès », 1 activité ouverte utilise des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEDans ABC, M appartient à [AB], N à [AC] et MN est parallèle à BC. Si AM = 3, AB = 5 et AC = 10, calculez AN.
Indice : À partir de « 3 ; 5 ; 10 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 1 de « Appliquer le théorème de Thalès », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
Le parallélisme autorise l’utilisation du théorème de Thalès.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEDans la même configuration, AM = 4, AB = 10 et MN = 6. Calculez BC.
Indice : À partir de « 4 ; 10 ; 6 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 2 de « Appliquer le théorème de Thalès », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Les côtés correspondants sont écrits dans le même ordre.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPeut-on appliquer Thalès si M et N sont sur deux côtés mais que MN n’est pas parallèle à BC ?
Indice : À partir de « peut-on », « appliquer », « thalès » et « côtés », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 3 de « Appliquer le théorème de Thalès », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
Le parallélisme est une hypothèse indispensable du théorème.
Contrôle : Sans MN ∥ BC, les rapports de longueurs ne sont pas garantis égaux ; il manque donc une condition, pas un calcul.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Appliquer le théorème de Thalès » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — Dans ABC, M appartient à [AB], N à [AC] et MN est parallèle à BC. Si AM = 3, AB = 5 et AC = 10, calculez AN. Cas 2 — Dans la même configuration, AM = 4, AB = 10 et MN = 6. Calculez BC. Pour comparer les deux cas de « Appliquer le théorème de Thalès », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Appliquer le théorème de Thalès », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « Le parallélisme autorise l’utilisation du théorème de Thalès » tandis que le second repose sur « Les côtés correspondants sont écrits dans le même ordre » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Écrire des rapports dans des ordres différents ». Repérez le premier choix incompatible avec l’énoncé, remplacez-le et justifiez ce remplacement.
Indice : À partir de « Écrire des rapports dans des ordres différents », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Appliquer le théorème de Thalès », conservez ce fait — Le parallélisme est une hypothèse indispensable du théorème — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Appliquer le théorème de Thalès » réfute précisément « Écrire des rapports dans des ordres différents » en retrouvant « Non » à partir de l’indice « Le parallélisme est une hypothèse indispensable du théorème ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : Peut-on appliquer Thalès si M et N sont sur deux côtés mais que MN n’est pas parallèle à BC ? Changez une seule information décisive, résolvez le nouveau cas et donnez un contrôle indépendant.
Indice : Point de départ — Peut-on appliquer Thalès si M et N sont sur deux côtés mais que MN n’est pas parallèle à BC ? Pour « Appliquer le théorème de Thalès », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Appliquer le théorème de Thalès » parce qu’il conserve l’objectif « Vérifier parallélisme et alignements avant d’écrire les rapports correspondants, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer. », reprend l’indice « Le parallélisme est une hypothèse indispensable du théorème. », isole un seul changement pour « Appliquer le théorème de Thalès » et se termine par un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Écrire des rapports dans des ordres différents.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « parallèle » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « rapport », puis traitez une variante mobilisant « configuration » sans regarder le modèle.
« Appliquer le théorème de Thalès » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Appliquer le théorème de Thalès » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
3e
Dans « Appliquer le théorème de Thalès », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →