Utiliser la trigonométrie : figure, propriété et démonstration.
Choisir sinus, cosinus ou tangente selon les côtés connus d’un triangle rectangle, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 1 repère de progression.
Utiliser la trigonométrie : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Utiliser la trigonométrie », retenez d’abord la règle qui relie « sinus » à « cosinus ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « tangente » sans sauter l’étape de vérification.
Choisir sinus, cosinus ou tangente selon les côtés connus d’un triangle rectangle, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer.
Choisir sinus, cosinus ou tangente selon les côtés connus d’un triangle rectangle, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin.
cos(α)=adjacent/hypoténuse.
Nommer les côtés sans se placer par rapport à l’angle étudié.
- 01DONNÉESsinus
- 02PROCÉDUREcosinus
- 03CONTRÔLEtangente
Le schéma sert de contrôle : partez de « sinus », appliquez « cosinus », puis vérifiez avec « tangente ».
Le rapport dépend des côtés connus et cherchés relativement à l’angle étudié.
Résoudre « Utiliser la trigonométrie » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Utiliser la trigonométrie », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, le sinus relie le côté opposé à l’hypoténuse ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « cos β = 6/10 = 0,6 » parce que le cosinus est le rapport adjacent sur hypoténuse ; il applique ainsi la règle « Choisir sinus, cosinus ou tangente selon les côtés connus d’un triangle rectangle, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « tan γ = 8/6 = 4/3 » ; elle reste vérifiable puisque la tangente relie le côté opposé au côté adjacent.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Nommer les côtés sans se placer par rapport à l’angle étudié » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Choisir sinus, cosinus ou tangente selon les côtés connus d’un triangle rectangle, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin ».
« Utiliser la trigonométrie » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Choisir sinus, cosinus ou tangente selon les côtés connus d’un triangle rectangle, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « Dans un triangle rectangle, l’angle α vaut 30° et l’hypoténuse 10 cm. Calculez le côté opposé à α. », la réponse est « opposé = 10 × sin 30° = 5 cm » : Le sinus relie le côté opposé à l’hypoténuse.
Le cas qui change la décision
Dans « Le côté adjacent à β mesure 6 cm et l’hypoténuse 10 cm. Calculez cos β. », on obtient « cos β = 6/10 = 0,6 » : Le cosinus est le rapport adjacent sur hypoténuse.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « Dans un triangle rectangle, opposé = 8 cm et adjacent = 6 cm. Calculez tan γ. » conduit à « tan γ = 8/6 = 4/3 » : La tangente relie le côté opposé au côté adjacent. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Nommer les côtés sans se placer par rapport à l’angle étudié ».
Cas corrigé sur « Utiliser la trigonométrie » : question, réponse et contrôle.
Pour « Utiliser la trigonométrie », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
Dans un triangle rectangle, l’angle α vaut 30° et l’hypoténuse 10 cm. Calculez le côté opposé à α.
Réponse
opposé = 10 × sin 30° = 5 cm.
Pourquoi cette réponse
Le sinus relie le côté opposé à l’hypoténuse. La vérification conserve donc le même énoncé — « Dans un triangle rectangle, l’angle α vaut 30° et l’hypoténuse 10 cm. Calculez le côté opposé à α. » — jusqu’à la réponse « opposé = 10 × sin 30° = 5 cm ».
Un cas voisin sur « Utiliser la trigonométrie ».
Ce cas applique « Utiliser la trigonométrie » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLEABC est rectangle en A, BC = 10 cm et l’angle ABC mesure 30°. Calculez AC.
Indice : À partir de « 10 cm ; 30° », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Afficher le corrigé
AC est opposé à l’angle B et BC est l’hypoténuse : sin 30° = AC/10, donc AC = 10 × 0,5.
CONTRÔLE INDÉPENDANTAC est plus petit que l’hypoténuse et 5/10 = 0,5, ce qui confirme le résultat.
6 activités guidées sur « Utiliser la trigonométrie », après le cas autonome.
Dans « Utiliser la trigonométrie », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Choisir sinus, cosinus ou tangente selon les côtés connus d’un triangle rectangle, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Utiliser la trigonométrie », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Utiliser la trigonométrie » : 4 cas à résoudre, 2 analyses guidées et 1 diagnostic d’erreur. Pour « Utiliser la trigonométrie », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Utiliser la trigonométrie », 1 activité ouverte utilise des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEDans un triangle rectangle, l’angle α vaut 30° et l’hypoténuse 10 cm. Calculez le côté opposé à α.
Indice : À partir de « 30° ; 10 cm », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Indice : pour le cas 1 de « Utiliser la trigonométrie », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
Le sinus relie le côté opposé à l’hypoténuse.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLELe côté adjacent à β mesure 6 cm et l’hypoténuse 10 cm. Calculez cos β.
Indice : À partir de « 6 cm ; 10 cm », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Indice : pour le cas 2 de « Utiliser la trigonométrie », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Le cosinus est le rapport adjacent sur hypoténuse.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEDans un triangle rectangle, opposé = 8 cm et adjacent = 6 cm. Calculez tan γ.
Indice : À partir de « 8 cm ; 6 cm », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Indice : pour le cas 3 de « Utiliser la trigonométrie », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
La tangente relie le côté opposé au côté adjacent.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Utiliser la trigonométrie » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — Dans un triangle rectangle, l’angle α vaut 30° et l’hypoténuse 10 cm. Calculez le côté opposé à α. Cas 2 — Le côté adjacent à β mesure 6 cm et l’hypoténuse 10 cm. Calculez cos β. Pour comparer les deux cas de « Utiliser la trigonométrie », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Utiliser la trigonométrie », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « Le sinus relie le côté opposé à l’hypoténuse » tandis que le second repose sur « Le cosinus est le rapport adjacent sur hypoténuse » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Nommer les côtés sans se placer par rapport à l’angle étudié ». Distinguez la dernière étape recevable de la première étape fausse, puis reconstruisez la conclusion.
Indice : À partir de « Nommer les côtés sans se placer par rapport à l’angle étudié », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Utiliser la trigonométrie », conservez ce fait — La tangente relie le côté opposé au côté adjacent — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Utiliser la trigonométrie » réfute précisément « Nommer les côtés sans se placer par rapport à l’angle étudié » en retrouvant « tan γ = 8/6 = 4/3 » à partir de l’indice « La tangente relie le côté opposé au côté adjacent ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : Dans un triangle rectangle, opposé = 8 cm et adjacent = 6 cm. Calculez tan γ. Remplacez un élément qui influence réellement la réponse, traitez le cas obtenu et justifiez le contrôle.
Indice : Point de départ — Dans un triangle rectangle, opposé = 8 cm et adjacent = 6 cm. Calculez tan γ. Pour « Utiliser la trigonométrie », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Utiliser la trigonométrie » parce qu’il conserve l’objectif « Choisir sinus, cosinus ou tangente selon les côtés connus d’un triangle rectangle, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer. », reprend l’indice « La tangente relie le côté opposé au côté adjacent. », isole un seul changement pour « Utiliser la trigonométrie » et se termine par un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Nommer les côtés sans se placer par rapport à l’angle étudié.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « sinus » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « cosinus », puis traitez une variante mobilisant « tangente » sans regarder le modèle.
« Utiliser la trigonométrie » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Utiliser la trigonométrie » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
3e
Dans « Utiliser la trigonométrie », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →