Calculer avec les puissances : représenter, comparer et calculer.
Interpréter exposant et base puis appliquer les propriétés à base commune, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 3 repères de progression.
Calculer avec les puissances : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Calculer avec les puissances », retenez d’abord la règle qui relie « base » à « exposant ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « puissance » sans sauter l’étape de vérification.
Interpréter exposant et base puis appliquer les propriétés à base commune, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée.
Interpréter exposant et base puis appliquer les propriétés à base commune, puis vérifier le résultat par une méthode indépendante du premier calcul.
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.
Multiplier aussi les exposants lors d’un produit de même base.
- 01DONNÉESbase
- 02PROCÉDUREexposant
- 03CONTRÔLEpuissance
Le schéma sert de contrôle : partez de « base », appliquez « exposant », puis vérifiez avec « puissance ».
Figure de nombres reliant la règle de Calculer avec les puissances à un exemple vérifiable. Pour « Calculer avec les puissances », le dessin isole la relation utile ; la correction détaillée reste la référence pour refaire le raisonnement.
Résoudre « Calculer avec les puissances » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Calculer avec les puissances », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, l’exposant 5 indique cinq facteurs égaux à 2 ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « 3⁴ × 3² = 3⁶ » parce que pour des puissances de même base, les exposants s’additionnent dans un produit ; il applique ainsi la règle « Interpréter exposant et base puis appliquer les propriétés à base commune, puis vérifier le résultat par une méthode indépendante du premier calcul ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴ » ; elle reste vérifiable puisque dans un quotient de même base, les exposants se soustraient.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Multiplier aussi les exposants lors d’un produit de même base » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Interpréter exposant et base puis appliquer les propriétés à base commune, puis vérifier le résultat par une méthode indépendante du premier calcul ».
« Calculer avec les puissances » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Interpréter exposant et base puis appliquer les propriétés à base commune, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « Calculez 2⁵. », la réponse est « 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 » : L’exposant 5 indique cinq facteurs égaux à 2.
Le cas qui change la décision
Dans « Simplifiez 3⁴ × 3². », on obtient « 3⁴ × 3² = 3⁶ » : Pour des puissances de même base, les exposants s’additionnent dans un produit.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « Simplifiez 10⁷ ÷ 10³. » conduit à « 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴ » : Dans un quotient de même base, les exposants se soustraient. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Multiplier aussi les exposants lors d’un produit de même base ».
Cas corrigé sur « Calculer avec les puissances » : question, réponse et contrôle.
Pour « Calculer avec les puissances », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
Calculez 2⁵.
Réponse
2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
Pourquoi cette réponse
L’exposant 5 indique cinq facteurs égaux à 2. La vérification conserve donc le même énoncé — « Calculez 2⁵. » — jusqu’à la réponse « 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ».
Un cas voisin sur « Calculer avec les puissances ».
Ce cas applique « Calculer avec les puissances » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLESimplifiez (2³ × 2⁵) ÷ 2⁴, puis donnez la valeur obtenue.
Indice : À partir de « 2 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Afficher le corrigé
Pour des puissances de même base, on additionne les exposants au produit et on soustrait à la division : 3 + 5 − 4 = 4.
CONTRÔLE INDÉPENDANTLe calcul développé (8 × 32) ÷ 16 = 256 ÷ 16 = 16 confirme le résultat.
6 activités guidées sur « Calculer avec les puissances », après le cas autonome.
Dans « Calculer avec les puissances », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Interpréter exposant et base puis appliquer les propriétés à base commune, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Calculer avec les puissances », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Calculer avec les puissances » : 4 cas à résoudre, 2 analyses guidées et 1 diagnostic d’erreur. Pour « Calculer avec les puissances », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Calculer avec les puissances », 1 activité ouverte utilise des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLECalculez 2⁵.
Indice : À partir de « 2 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse. Appuyez votre décision sur le verbe de consigne « Calculez ».
Indice : pour le cas 1 de « Calculer avec les puissances », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
L’exposant 5 indique cinq facteurs égaux à 2.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLESimplifiez 3⁴ × 3².
Indice : À partir de « 3 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse. Appuyez votre décision sur le verbe de consigne « Simplifiez ».
Indice : pour le cas 2 de « Calculer avec les puissances », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Pour des puissances de même base, les exposants s’additionnent dans un produit.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLESimplifiez 10⁷ ÷ 10³.
Indice : À partir de « 10 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 3 de « Calculer avec les puissances », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
Dans un quotient de même base, les exposants se soustraient.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Calculer avec les puissances » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — Calculez 2⁵. Cas 2 — Simplifiez 3⁴ × 3². Pour comparer les deux cas de « Calculer avec les puissances », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Calculer avec les puissances », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « L’exposant 5 indique cinq facteurs égaux à 2 » tandis que le second repose sur « Pour des puissances de même base, les exposants s’additionnent dans un produit » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Multiplier aussi les exposants lors d’un produit de même base ». Isolez l’erreur initiale, corrigez seulement cette décision et nommez la preuve qui invalide la démarche.
Indice : À partir de « Multiplier aussi les exposants lors d’un produit de même base », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Calculer avec les puissances », conservez ce fait — Dans un quotient de même base, les exposants se soustraient — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Calculer avec les puissances » réfute précisément « Multiplier aussi les exposants lors d’un produit de même base » en retrouvant « 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴ » à partir de l’indice « Dans un quotient de même base, les exposants se soustraient ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : Simplifiez 10⁷ ÷ 10³. Construisez une variante à partir de ce cas, indiquez l’unique changement puis contrôlez la réponse.
Indice : Point de départ — Simplifiez 10⁷ ÷ 10³. Pour « Calculer avec les puissances », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Calculer avec les puissances » parce qu’il conserve l’objectif « Interpréter exposant et base puis appliquer les propriétés à base commune, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée. », reprend l’indice « Dans un quotient de même base, les exposants se soustraient. », isole un seul changement pour « Calculer avec les puissances » et se termine par un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Multiplier aussi les exposants lors d’un produit de même base.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « base » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « exposant », puis traitez une variante mobilisant « puissance » sans regarder le modèle.
« Calculer avec les puissances » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Calculer avec les puissances » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
5e
Dans « Calculer avec les puissances », modéliser avec plusieurs représentations, enchaîner les calculs et expliquer les conditions d’application de la règle.
Voir le parcours 5e →4e
Dans « Calculer avec les puissances », rédiger une justification ou une démonstration structurée, puis tester la conclusion sur un cas voisin.
Voir le parcours 4e →3e
Dans « Calculer avec les puissances », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →