Calculer avec les nombres relatifs : représenter, comparer et calculer.
Comparer, additionner et soustraire des nombres relatifs en distinguant signe et distance à zéro ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 12 activités corrigées et 3 repères de progression.
Calculer avec les nombres relatifs : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Calculer avec les nombres relatifs », retenez d’abord la règle qui relie « signe » à « opposé ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « distance à zéro » sans sauter l’étape de vérification.
Comparer, additionner et soustraire des nombres relatifs en distinguant signe et distance à zéro.
Le signe d’une somme dépend des signes et des distances à zéro ; soustraire un relatif revient à ajouter son opposé.
−3 + 8 = 5 tandis que −3 − 8 = −11.
Appliquer une règle de signes sans identifier l’opération.
- 01DONNÉESsigne
- 02PROCÉDUREopposé
- 03CONTRÔLEdistance à zéro
Le schéma sert de contrôle : partez de « signe », appliquez « opposé », puis vérifiez avec « distance à zéro ».
Passer de −3 à 5 correspond à une augmentation de 8 unités.
Une réponse que l’on peut vérifier.
Une solution recevable fait apparaître les données, la relation ou la propriété utilisée et le contrôle du résultat. Dans « −3 + 8 = 5 tandis que −3 − 8 = −11. », le nombre final ne suffit pas si l’on ne peut pas reconstituer le calcul ou la démonstration.
Ce que l’on peut conclure — et pas davantage.
La procédure n’est valable que si ses conditions sont réunies : nature des nombres, figure, unités, ordre de grandeur ou hypothèses de l’énoncé. Un calcul exact appliqué au mauvais modèle reste une réponse fausse.
Résoudre « Calculer avec les nombres relatifs » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Calculer avec les nombres relatifs », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, les signes sont différents : on soustrait les distances à zéro et garde le signe de 12 ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « (−4) × (−6) = 24 » parce que le produit de deux nombres négatifs est positif ; il applique ainsi la règle « Le signe d’une somme dépend des signes et des distances à zéro ; soustraire un relatif revient à ajouter son opposé ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « Elle augmente de 5 − (−3) = 8 °C » ; elle reste vérifiable puisque la variation tient compte du passage par zéro.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Appliquer une règle de signes sans identifier l’opération » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Le signe d’une somme dépend des signes et des distances à zéro ; soustraire un relatif revient à ajouter son opposé ».
Cas corrigé sur « Calculer avec les nombres relatifs » : question, réponse et contrôle.
Pour « Calculer avec les nombres relatifs », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
Calculez −7 + 12.
Réponse
−7 + 12 = 5.
Pourquoi cette réponse
Les signes sont différents : on soustrait les distances à zéro et garde le signe de 12. La vérification conserve donc le même énoncé — « Calculez −7 + 12. » — jusqu’à la réponse « −7 + 12 = 5 ».
12 activités corrigées sur « Calculer avec les nombres relatifs » : appliquer, expliquer, transférer.
Dans « Calculer avec les nombres relatifs », les 12 activités passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Comparer, additionner et soustraire des nombres relatifs en distinguant signe et distance à zéro » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction.
Composition de la fiche « Calculer avec les nombres relatifs » : 5 cas à résoudre, 5 analyses guidées, 1 diagnostic d’erreur et 1 production à évaluer. Pour « Calculer avec les nombres relatifs », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Calculer avec les nombres relatifs », 2 activités ouvertes utilisent des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLECalculez −7 + 12.
Indice : À partir de « 7 ; 12 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 1 de « Calculer avec les nombres relatifs », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
Les signes sont différents : on soustrait les distances à zéro et garde le signe de 12.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLECalculez (−4) × (−6).
Indice : À partir de « 4 ; 6 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 2 de « Calculer avec les nombres relatifs », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLELa température passe de −3 °C à 5 °C. De combien augmente-t-elle ?
Indice : À partir de « 3 °C ; 5 °C », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 3 de « Calculer avec les nombres relatifs », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
La variation tient compte du passage par zéro.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Calculer avec les nombres relatifs » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — Calculez −7 + 12. Cas 2 — Calculez (−4) × (−6). Pour comparer les deux cas de « Calculer avec les nombres relatifs », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Calculer avec les nombres relatifs », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « Les signes sont différents : on soustrait les distances à zéro et garde le signe de 12 » tandis que le second repose sur « Le produit de deux nombres négatifs est positif » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Appliquer une règle de signes sans identifier l’opération ». Identifiez l’hypothèse ou la règle mal utilisée, rectifiez-la et citez l’élément qui tranche.
Indice : À partir de « Appliquer une règle de signes sans identifier l’opération », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Calculer avec les nombres relatifs », conservez ce fait — La variation tient compte du passage par zéro — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Calculer avec les nombres relatifs » réfute précisément « Appliquer une règle de signes sans identifier l’opération » en retrouvant « Elle augmente de 5 − (−3) = 8 °C » à partir de l’indice « La variation tient compte du passage par zéro ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : La température passe de −3 °C à 5 °C. De combien augmente-t-elle ? Créez une variante minimale, prédisez ce qui doit changer et validez le résultat obtenu.
Indice : Point de départ — La température passe de −3 °C à 5 °C. De combien augmente-t-elle ? Pour « Calculer avec les nombres relatifs », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Calculer avec les nombres relatifs » parce qu’il conserve l’objectif « Comparer, additionner et soustraire des nombres relatifs en distinguant signe et distance à zéro. », reprend l’indice « La variation tient compte du passage par zéro. », isole un seul changement pour « Calculer avec les nombres relatifs » et se termine par un contrôle indépendant.
Continuer avec l’activité suivante →07CAS À RÉSOUDRE · DIAGNOSTIQUER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLECalculez −7 + 12 − 5 et représentez les déplacements sur une droite graduée.
Indice : À partir de « 7 ; 12 ; 5 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Depuis −7, avancer de 12 mène à 5, puis reculer de 5 mène à 0.
Continuer avec l’activité suivante →08CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLECalculez (−4) × (−6) + (−3) et justifiez le signe du produit.
Indice : À partir de « 4 ; 6 ; 3 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Le produit de deux nombres négatifs est positif : 24 ; puis 24 + (−3) = 21.
Continuer avec l’activité suivante →09ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLELes deux cas corrigés sur « Calculer avec les nombres relatifs » n’appellent pas la même décision. Pour chacun, indiquez ce qui est demandé et l’indice qui justifie la procédure.
Indice : À partir de « Calculer avec les nombres relatifs », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Comparez les deux démarches avant de vérifier la conclusion.
La comparaison est recevable parce qu’elle relie chaque réponse à sa propre consigne et à son propre indice ; elle ne juxtapose pas deux résultats isolés.
Continuer avec l’activité suivante →10ANALYSE GUIDÉE · SYNTHÉTISER · NIVEAU 3CORRIGÉ MODÈLEÀ partir des deux cas corrigés, formulez une règle qui indique quand choisir chaque procédure pour « Calculer avec les nombres relatifs ».
Indice : À partir de « Calculer avec les nombres relatifs », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Comparez les deux démarches avant de vérifier la conclusion. Appuyez votre décision sur le verbe de consigne « À ».
Addition et multiplication n’utilisent pas la même règle de signes : la représentation ou la décomposition doit correspondre à l’opération réellement posée.
Continuer avec l’activité suivante →11PRODUCTION À ÉVALUER · RÉINVESTIR · NIVEAU 3CORRIGÉ MODÈLEModifiez un seul élément décisif du premier cas sur « Calculer avec les nombres relatifs » afin que la réponse change. Donnez la nouvelle réponse et justifiez-la.
Indice : À partir de « Calculer avec les nombres relatifs », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Une seule valeur initiale change ; le déplacement de 12 unités vers la droite puis de 5 vers la gauche confirme le résultat 2.
Continuer avec l’activité suivante →12ANALYSE GUIDÉE · ÉVALUER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEUn élève donne uniquement cette réponse : « Le résultat de l’expression est 21. » Quelle preuve doit-il ajouter pour montrer qu’il maîtrise « Calculer avec les nombres relatifs » ?
Indice : À partir de « Le résultat de l’expression est 21. », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Comparez les deux démarches avant de vérifier la conclusion.
Un résultat juste peut être obtenu au hasard. La maîtrise se voit dans une décision justifiée et un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Appliquer une règle de signes sans identifier l’opération.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « signe » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « opposé », puis traitez une variante mobilisant « distance à zéro » sans regarder le modèle.
Quatre repères pour corriger sans impression générale.
Les quatre critères ci-dessous décrivent ce qui doit être observable dans une réponse consacrée à « Calculer avec les nombres relatifs ». Ils servent à commenter une production, pas à fabriquer une note automatique.
Modélisation
Les données utiles et la question sont traduites par une relation appropriée.
Exactitude
Les calculs, propriétés, notations et unités sont cohérents à chaque étape.
Contrôle
Une vérification indépendante confirme le résultat ou révèle une incohérence.
Autonomie
La démarche reste correcte sur un cas différent de « −3 + 8 = 5 tandis que −3 − 8 = −11. », sans recopier la correction.
« Calculer avec les nombres relatifs » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Calculer avec les nombres relatifs » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
5e
Dans « Calculer avec les nombres relatifs », modéliser avec plusieurs représentations, enchaîner les calculs et expliquer les conditions d’application de la règle.
Voir le parcours 5e →4e
Dans « Calculer avec les nombres relatifs », rédiger une justification ou une démonstration structurée, puis tester la conclusion sur un cas voisin.
Voir le parcours 4e →3e
Dans « Calculer avec les nombres relatifs », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →La notion est-elle réellement disponible ?
Une bonne réponse isolée ne suffit pas.
- Je peux reformuler la règle utile pour « Calculer avec les nombres relatifs » sans reprendre les mots du guide.
- Je sais repérer « signe » ou « opposé » dans un cas nouveau.
- J’explique pourquoi la fausse piste signalée ne convient pas.
- Je traite une variante et je contrôle la réponse avec « distance à zéro ».
Ce que les références établissent — et ce qu’elles n’établissent pas.
Cette distinction évite d’attribuer aux textes officiels les exemples, formulations et corrections produits par Exercices.com.
Les 3 références listées ci-dessous cadrent le programme, le niveau attendu et le vocabulaire de mathématiques.
La règle reformulée, le cas analysé, les exercices et leurs corrigés sont une production éditoriale d’Exercices.com ; ils ne sont pas des extraits des sources.
Une référence de cadrage ne constitue ni une certification ni une relecture externe de chaque correction. Toute erreur peut être signalée et tracée.