Comprendre une fonction : modéliser, calculer et contrôler.
Associer à chaque antécédent une unique image et changer de représentation, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 2 repères de progression.
Comprendre une fonction : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Comprendre une fonction », retenez d’abord la règle qui relie « fonction » à « image ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « antécédent » sans sauter l’étape de vérification.
Associer à chaque antécédent une unique image et changer de représentation, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée.
Associer à chaque antécédent une unique image et changer de représentation, puis vérifier le résultat par une méthode indépendante du premier calcul.
Si f(x)=2x+1, alors l’image de 3 est 7.
Inverser image et antécédent.
- 01DONNÉESfonction
- 02PROCÉDUREimage
- 03CONTRÔLEantécédent
Le schéma sert de contrôle : partez de « fonction », appliquez « image », puis vérifiez avec « antécédent ».
Une fonction peut partager une même image entre plusieurs entrées, mais jamais deux images pour une entrée.
Résoudre « Comprendre une fonction » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Comprendre une fonction », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, on remplace x par 3 dans la règle de calcul ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « 2 est un antécédent de 7 et 7 est l’image de 2 » parce que le vocabulaire suit le sens de l’association f(2) = 7 ; il applique ainsi la règle « Associer à chaque antécédent une unique image et changer de représentation, puis vérifier le résultat par une méthode indépendante du premier calcul ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « Non » ; elle reste vérifiable puisque par définition, chaque antécédent de l’ensemble de départ possède au plus une image.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Inverser image et antécédent » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Associer à chaque antécédent une unique image et changer de représentation, puis vérifier le résultat par une méthode indépendante du premier calcul ».
« Comprendre une fonction » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Associer à chaque antécédent une unique image et changer de représentation, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « Une fonction associe à x le nombre x² + 1. Quelle est l’image de 3 ? », la réponse est « L’image de 3 est 3² + 1 = 10 » : On remplace x par 3 dans la règle de calcul.
Le cas qui change la décision
Dans « Dans un tableau, f(2) = 7. Que représentent 2 et 7 ? », on obtient « 2 est un antécédent de 7 et 7 est l’image de 2 » : Le vocabulaire suit le sens de l’association f(2) = 7.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « Une même fonction peut-elle associer deux images différentes au même nombre 4 ? » conduit à « Non » : Par définition, chaque antécédent de l’ensemble de départ possède au plus une image. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Inverser image et antécédent ».
Cas corrigé sur « Comprendre une fonction » : question, réponse et contrôle.
Pour « Comprendre une fonction », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
Une fonction associe à x le nombre x² + 1. Quelle est l’image de 3 ?
Réponse
L’image de 3 est 3² + 1 = 10.
Pourquoi cette réponse
On remplace x par 3 dans la règle de calcul. La vérification conserve donc le même énoncé — « Une fonction associe à x le nombre x² + 1. Quelle est l’image de 3 ? » — jusqu’à la réponse « L’image de 3 est 3² + 1 = 10 ».
Un cas voisin sur « Comprendre une fonction ».
Ce cas applique « Comprendre une fonction » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLELa fonction q associe à x le nombre 2x² − 3. Calculez l'image de −2 et précisez si −2 est un antécédent de 5.
Indice : À partir de « 3 ; 2 ; 5 », convertissez d’abord toutes les grandeurs dans une unité commune, puis annoncez l’unité du résultat attendu.
Afficher le corrigé
On remplace x par −2 : 2 × (−2)² − 3 = 2 × 4 − 3 = 5. L'entrée est l'antécédent et le résultat son image.
CONTRÔLE INDÉPENDANTLe nombre 2 donne également 5, ce qui rappelle qu'une image peut avoir plusieurs antécédents.
6 activités guidées sur « Comprendre une fonction », après le cas autonome.
Dans « Comprendre une fonction », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Associer à chaque antécédent une unique image et changer de représentation, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Comprendre une fonction », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Comprendre une fonction » : 4 cas à résoudre, 2 analyses guidées et 1 diagnostic d’erreur. Pour « Comprendre une fonction », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Comprendre une fonction », 1 activité ouverte utilise des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEUne fonction associe à x le nombre x² + 1. Quelle est l’image de 3 ?
Indice : À partir de « 1 ; 3 », convertissez d’abord toutes les grandeurs dans une unité commune, puis annoncez l’unité du résultat attendu.
Indice : pour le cas 1 de « Comprendre une fonction », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
On remplace x par 3 dans la règle de calcul.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEDans un tableau, f(2) = 7. Que représentent 2 et 7 ?
Indice : À partir de « 2 ; 7 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 2 de « Comprendre une fonction », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Le vocabulaire suit le sens de l’association f(2) = 7.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEUne même fonction peut-elle associer deux images différentes au même nombre 4 ?
Indice : À partir de « 4 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 3 de « Comprendre une fonction », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
Par définition, chaque antécédent de l’ensemble de départ possède au plus une image.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Comprendre une fonction » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — Une fonction associe à x le nombre x² + 1. Quelle est l’image de 3 ? Cas 2 — Dans un tableau, f(2) = 7. Que représentent 2 et 7 ? Pour comparer les deux cas de « Comprendre une fonction », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Comprendre une fonction », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « On remplace x par 3 dans la règle de calcul » tandis que le second repose sur « Le vocabulaire suit le sens de l’association f(2) = 7 » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Inverser image et antécédent ». Localisez l’étape qui ne respecte plus les données, reformulez-la et appuyez la correction sur un indice précis.
Indice : À partir de « Inverser image et antécédent », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Comprendre une fonction », conservez ce fait — Par définition, chaque antécédent de l’ensemble de départ possède au plus une image — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Comprendre une fonction » réfute précisément « Inverser image et antécédent » en retrouvant « Non » à partir de l’indice « Par définition, chaque antécédent de l’ensemble de départ possède au plus une image ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : Une même fonction peut-elle associer deux images différentes au même nombre 4 ? Modifiez un seul paramètre, annoncez l’effet attendu et vérifiez la nouvelle conclusion.
Indice : Point de départ — Une même fonction peut-elle associer deux images différentes au même nombre 4 ? Pour « Comprendre une fonction », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Comprendre une fonction » parce qu’il conserve l’objectif « Associer à chaque antécédent une unique image et changer de représentation, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée. », reprend l’indice « Par définition, chaque antécédent de l’ensemble de départ possède au plus une image. », isole un seul changement pour « Comprendre une fonction » et se termine par un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Inverser image et antécédent.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « fonction » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « image », puis traitez une variante mobilisant « antécédent » sans regarder le modèle.
« Comprendre une fonction » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Comprendre une fonction » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
4e
Dans « Comprendre une fonction », rédiger une justification ou une démonstration structurée, puis tester la conclusion sur un cas voisin.
Voir le parcours 4e →3e
Dans « Comprendre une fonction », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →