Résoudre une inéquation : modéliser, calculer et contrôler.
Résoudre une inéquation en conservant ou inversant le sens de l’inégalité selon l’opération effectuée ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 1 repère de progression.
Résoudre une inéquation : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Résoudre une inéquation », retenez d’abord la règle qui relie « inéquation » à « ordre ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « ensemble solution » sans sauter l’étape de vérification.
Résoudre une inéquation en conservant ou inversant le sens de l’inégalité selon l’opération effectuée.
Une inégalité conserve son sens sous une addition ; multiplier ou diviser par un nombre négatif oblige à inverser le signe.
−2x < 6 donne x > −3.
Conserver le sens de l’inégalité après division par −2.
- 01DONNÉESinéquation
- 02PROCÉDUREordre
- 03CONTRÔLEensemble solution
Le schéma sert de contrôle : partez de « inéquation », appliquez « ordre », puis vérifiez avec « ensemble solution ».
Le point plein inclut −4 ; la demi-droite représente toutes les valeurs inférieures.
Résoudre « Résoudre une inéquation » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Résoudre une inéquation », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, soustraire 2 puis diviser par 3, nombre positif, conserve le sens de l’inégalité ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « x ≤ −4 » parce que diviser par −2 inverse le sens de l’inégalité ; il applique ainsi la règle « Une inégalité conserve son sens sous une addition ; multiplier ou diviser par un nombre négatif oblige à inverser le signe ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « Non, car 2 × 5 − 1 = 9 et 9 n’est pas inférieur ou égal à 8 » ; elle reste vérifiable puisque une valeur est testée dans l’inéquation d’origine.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Conserver le sens de l’inégalité après division par −2 » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Une inégalité conserve son sens sous une addition ; multiplier ou diviser par un nombre négatif oblige à inverser le signe ».
« Résoudre une inéquation » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Résoudre une inéquation en conservant ou inversant le sens de l’inégalité selon l’opération effectuée » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « Résolvez 3x + 2 < 14. », la réponse est « 3x < 12, donc x < 4 » : Soustraire 2 puis diviser par 3, nombre positif, conserve le sens de l’inégalité.
Le cas qui change la décision
Dans « Résolvez −2x ≥ 8. », on obtient « x ≤ −4 » : Diviser par −2 inverse le sens de l’inégalité.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « Le nombre 5 est-il solution de 2x − 1 ≤ 8 ? » conduit à « Non, car 2 × 5 − 1 = 9 et 9 n’est pas inférieur ou égal à 8 » : Une valeur est testée dans l’inéquation d’origine. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Conserver le sens de l’inégalité après division par −2 ».
Cas corrigé sur « Résoudre une inéquation » : question, réponse et contrôle.
Pour « Résoudre une inéquation », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
Résolvez 3x + 2 < 14.
Réponse
3x < 12, donc x < 4.
Pourquoi cette réponse
Soustraire 2 puis diviser par 3, nombre positif, conserve le sens de l’inégalité. La vérification conserve donc le même énoncé — « Résolvez 3x + 2 < 14. » — jusqu’à la réponse « 3x < 12, donc x < 4 ».
Un cas voisin sur « Résoudre une inéquation ».
Ce cas applique « Résoudre une inéquation » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLERésolvez 5 − 3x > 14 et contrôlez avec une valeur solution.
Indice : À partir de « 5 ; 14 », isolez l’inconnue par opérations inverses et testez une valeur dans l’expression initiale ; surveillez le sens de l’inégalité.
Afficher le corrigé
On soustrait 5 : −3x > 9. En divisant par −3, on inverse le sens de l'inégalité, d'où x < −3.
CONTRÔLE INDÉPENDANTPour x = −4, 5 − 3 × (−4) = 17 > 14 ; pour x = 0, l'inégalité est fausse.
6 activités guidées sur « Résoudre une inéquation », après le cas autonome.
Dans « Résoudre une inéquation », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Résoudre une inéquation en conservant ou inversant le sens de l’inégalité selon l’opération effectuée » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Résoudre une inéquation », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Résoudre une inéquation » : 4 cas à résoudre, 2 analyses guidées et 1 diagnostic d’erreur. Pour « Résoudre une inéquation », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Résoudre une inéquation », 1 activité ouverte utilise des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLERésolvez 3x + 2 < 14.
Indice : À partir de « 2 ; 14 », isolez l’inconnue par opérations inverses et testez une valeur dans l’expression initiale ; surveillez le sens de l’inégalité.
Indice : pour le cas 1 de « Résoudre une inéquation », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
Soustraire 2 puis diviser par 3, nombre positif, conserve le sens de l’inégalité.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLERésolvez −2x ≥ 8.
Indice : À partir de « 8 », isolez l’inconnue par opérations inverses et testez une valeur dans l’expression initiale ; surveillez le sens de l’inégalité.
Indice : pour le cas 2 de « Résoudre une inéquation », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Diviser par −2 inverse le sens de l’inégalité.
Contrôle : Par exemple, x = −5 vérifie 10 ≥ 8 tandis que x = 0 ne vérifie pas l’inéquation ; le sens obtenu est cohérent.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLELe nombre 5 est-il solution de 2x − 1 ≤ 8 ?
Indice : À partir de « 5 ; 1 ; 8 », isolez l’inconnue par opérations inverses et testez une valeur dans l’expression initiale ; surveillez le sens de l’inégalité.
Indice : pour le cas 3 de « Résoudre une inéquation », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
Une valeur est testée dans l’inéquation d’origine.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Résoudre une inéquation » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — Résolvez 3x + 2 < 14. Cas 2 — Résolvez −2x ≥ 8. Pour comparer les deux cas de « Résoudre une inéquation », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Résoudre une inéquation », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « Soustraire 2 puis diviser par 3, nombre positif, conserve le sens de l’inégalité » tandis que le second repose sur « Diviser par −2 inverse le sens de l’inégalité » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Conserver le sens de l’inégalité après division par −2 ». Repérez le premier choix incompatible avec l’énoncé, remplacez-le et justifiez ce remplacement.
Indice : À partir de « Conserver le sens de l’inégalité après division par −2 », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Résoudre une inéquation », conservez ce fait — Une valeur est testée dans l’inéquation d’origine — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Résoudre une inéquation » réfute précisément « Conserver le sens de l’inégalité après division par −2 » en retrouvant « Non, car 2 × 5 − 1 = 9 et 9 n’est pas inférieur ou égal à 8 » à partir de l’indice « Une valeur est testée dans l’inéquation d’origine ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : Le nombre 5 est-il solution de 2x − 1 ≤ 8 ? Changez une seule information décisive, résolvez le nouveau cas et donnez un contrôle indépendant.
Indice : Point de départ — Le nombre 5 est-il solution de 2x − 1 ≤ 8 ? Pour « Résoudre une inéquation », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Résoudre une inéquation » parce qu’il conserve l’objectif « Résoudre une inéquation en conservant ou inversant le sens de l’inégalité selon l’opération effectuée. », reprend l’indice « Une valeur est testée dans l’inéquation d’origine. », isole un seul changement pour « Résoudre une inéquation » et se termine par un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Conserver le sens de l’inégalité après division par −2.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « inéquation » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « ordre », puis traitez une variante mobilisant « ensemble solution » sans regarder le modèle.
« Résoudre une inéquation » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Résoudre une inéquation » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
3e
Dans « Résoudre une inéquation », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →