Développer et factoriser : modéliser, calculer et contrôler.
Utiliser la distributivité dans les deux sens, puis vérifier le résultat par une représentation, une estimation ou l’opération inverse ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 2 repères de progression.
Développer et factoriser : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Développer et factoriser », retenez d’abord la règle qui relie « distributivité » à « développement ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « facteur commun » sans sauter l’étape de vérification.
Utiliser la distributivité dans les deux sens, puis vérifier le résultat par une représentation, une estimation ou l’opération inverse.
Utiliser la distributivité dans les deux sens, vérifier les conditions d’emploi de la procédure et contrôler l’ordre de grandeur du résultat.
3(x + 4) = 3x + 12 et 5x + 15 = 5(x + 3).
Distribuer le facteur sur le premier terme seulement.
- 01DONNÉESdistributivité
- 02PROCÉDUREdéveloppement
- 03CONTRÔLEfacteur commun
Le schéma sert de contrôle : partez de « distributivité », appliquez « développement », puis vérifiez avec « facteur commun ».
Figure d’algèbre reliant la règle de Développer et factoriser à un exemple vérifiable. Pour « Développer et factoriser », le dessin isole la relation utile ; la correction détaillée reste la référence pour refaire le raisonnement.
Résoudre « Développer et factoriser » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Développer et factoriser », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, le facteur 4 multiplie chacun des termes de la parenthèse ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « 6x + 18 = 6(x + 3) » parce que 6 est un facteur commun aux deux termes ; il applique ainsi la règle « Utiliser la distributivité dans les deux sens, vérifier les conditions d’emploi de la procédure et contrôler l’ordre de grandeur du résultat ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « 6x − 15 + 4x = 10x − 15 » ; elle reste vérifiable puisque la distributivité est appliquée avant de regrouper les termes en x.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Distribuer le facteur sur le premier terme seulement » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Utiliser la distributivité dans les deux sens, vérifier les conditions d’emploi de la procédure et contrôler l’ordre de grandeur du résultat ».
« Développer et factoriser » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Utiliser la distributivité dans les deux sens, puis vérifier le résultat par une représentation, une estimation ou l’opération inverse » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « Développez 4(x + 3). », la réponse est « 4(x + 3) = 4x + 12 » : Le facteur 4 multiplie chacun des termes de la parenthèse.
Le cas qui change la décision
Dans « Factorisez 6x + 18. », on obtient « 6x + 18 = 6(x + 3) » : 6 est un facteur commun aux deux termes.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « Développez et réduisez 3(2x − 5) + 4x. » conduit à « 6x − 15 + 4x = 10x − 15 » : La distributivité est appliquée avant de regrouper les termes en x. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Distribuer le facteur sur le premier terme seulement ».
Cas corrigé sur « Développer et factoriser » : question, réponse et contrôle.
Pour « Développer et factoriser », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
Développez 4(x + 3).
Réponse
4(x + 3) = 4x + 12.
Pourquoi cette réponse
Le facteur 4 multiplie chacun des termes de la parenthèse. La vérification conserve donc le même énoncé — « Développez 4(x + 3). » — jusqu’à la réponse « 4(x + 3) = 4x + 12 ».
Un cas voisin sur « Développer et factoriser ».
Ce cas applique « Développer et factoriser » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLEDéveloppez 3(x + 4).
Indice : À partir de « 3 ; 4 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Afficher le corrigé
La distributivité donne 3 × x + 3 × 4.
CONTRÔLE INDÉPENDANTEn factorisant 3x + 12 par 3, on retrouve 3(x + 4), ce qui contrôle le développement.
6 activités guidées sur « Développer et factoriser », après le cas autonome.
Dans « Développer et factoriser », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Utiliser la distributivité dans les deux sens, puis vérifier le résultat par une représentation, une estimation ou l’opération inverse » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Développer et factoriser », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Développer et factoriser » : 4 cas à résoudre, 2 analyses guidées et 1 diagnostic d’erreur. Pour « Développer et factoriser », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Développer et factoriser », 1 activité ouverte utilise des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEDéveloppez 4(x + 3).
Indice : À partir de « 4 ; 3 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 1 de « Développer et factoriser », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
Le facteur 4 multiplie chacun des termes de la parenthèse.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEFactorisez 6x + 18.
Indice : À partir de « 18 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 2 de « Développer et factoriser », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
6 est un facteur commun aux deux termes.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEDéveloppez et réduisez 3(2x − 5) + 4x.
Indice : À partir de « 3 ; 5 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse. Appuyez votre décision sur le verbe de consigne « Développez ».
Indice : pour le cas 3 de « Développer et factoriser », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
La distributivité est appliquée avant de regrouper les termes en x.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Développer et factoriser » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — Développez 4(x + 3). Cas 2 — Factorisez 6x + 18. Pour comparer les deux cas de « Développer et factoriser », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Développer et factoriser », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « Le facteur 4 multiplie chacun des termes de la parenthèse » tandis que le second repose sur « 6 est un facteur commun aux deux termes » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Distribuer le facteur sur le premier terme seulement ». Repérez le premier choix incompatible avec l’énoncé, remplacez-le et justifiez ce remplacement.
Indice : À partir de « Distribuer le facteur sur le premier terme seulement », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Développer et factoriser », conservez ce fait — La distributivité est appliquée avant de regrouper les termes en x — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Développer et factoriser » réfute précisément « Distribuer le facteur sur le premier terme seulement » en retrouvant « 6x − 15 + 4x = 10x − 15 » à partir de l’indice « La distributivité est appliquée avant de regrouper les termes en x ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : Développez et réduisez 3(2x − 5) + 4x. Changez une seule information décisive, résolvez le nouveau cas et donnez un contrôle indépendant.
Indice : Point de départ — Développez et réduisez 3(2x − 5) + 4x. Pour « Développer et factoriser », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Développer et factoriser » parce qu’il conserve l’objectif « Utiliser la distributivité dans les deux sens, puis vérifier le résultat par une représentation, une estimation ou l’opération inverse. », reprend l’indice « La distributivité est appliquée avant de regrouper les termes en x. », isole un seul changement pour « Développer et factoriser » et se termine par un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Distribuer le facteur sur le premier terme seulement.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « distributivité » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « développement », puis traitez une variante mobilisant « facteur commun » sans regarder le modèle.
« Développer et factoriser » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Développer et factoriser » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
4e
Dans « Développer et factoriser », rédiger une justification ou une démonstration structurée, puis tester la conclusion sur un cas voisin.
Voir le parcours 4e →3e
Dans « Développer et factoriser », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →