Droites et angles : figure, propriété et démonstration.
Reconnaître parallélisme, perpendicularité et mesurer ou construire un angle ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 8 repères de progression.
Droites et angles : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Droites et angles », retenez d’abord la règle qui relie « parallèle » à « perpendiculaire ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « angle » sans sauter l’étape de vérification.
Reconnaître parallélisme, perpendicularité et mesurer ou construire un angle.
Deux droites perpendiculaires forment un angle droit ; deux parallèles ne se coupent pas.
Un angle de 120° est obtus car il est supérieur à 90° et inférieur à 180°.
Lire la mauvaise graduation du rapporteur.
- 01DONNÉESparallèle
- 02PROCÉDUREperpendiculaire
- 03CONTRÔLEangle
Le schéma sert de contrôle : partez de « parallèle », appliquez « perpendiculaire », puis vérifiez avec « angle ».
Figure de géométrie reliant la règle de Droites et angles à un exemple vérifiable. Pour « Droites et angles », le dessin isole la relation utile ; la correction détaillée reste la référence pour refaire le raisonnement.
Résoudre « Droites et angles » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Droites et angles », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, la perpendicularité est définie par la présence d’un angle droit ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « d et d’ sont parallèles » parce que deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles ; il applique ainsi la règle « Deux droites perpendiculaires forment un angle droit ; deux parallèles ne se coupent pas ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « C’est un angle obtus » ; elle reste vérifiable puisque 128° est compris entre 90° et 180°.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Lire la mauvaise graduation du rapporteur » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Deux droites perpendiculaires forment un angle droit ; deux parallèles ne se coupent pas ».
« Droites et angles » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Reconnaître parallélisme, perpendicularité et mesurer ou construire un angle » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « Deux droites se coupent en formant un angle de 90°. Comment les qualifie-t-on ? », la réponse est « Elles sont perpendiculaires » : La perpendicularité est définie par la présence d’un angle droit.
Le cas qui change la décision
Dans « Deux droites d et d’ sont parallèles à une même droite t. Quelle relation unit d et d’ ? », on obtient « d et d’ sont parallèles » : Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « Un angle mesure 128°. Est-il aigu, droit ou obtus ? » conduit à « C’est un angle obtus » : 128° est compris entre 90° et 180°. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Lire la mauvaise graduation du rapporteur ».
Cas corrigé sur « Droites et angles » : question, réponse et contrôle.
Pour « Droites et angles », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
Deux droites se coupent en formant un angle de 90°. Comment les qualifie-t-on ?
Réponse
Elles sont perpendiculaires.
Pourquoi cette réponse
La perpendicularité est définie par la présence d’un angle droit. La vérification conserve donc le même énoncé — « Deux droites se coupent en formant un angle de 90°. Comment les qualifie-t-on ? » — jusqu’à la réponse « Elles sont perpendiculaires ».
Un cas voisin sur « Droites et angles ».
Ce cas applique « Droites et angles » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLEDeux droites a et b sont perpendiculaires à une même droite c. Quelle relation unit a et b dans le plan ?
Indice : À partir de « droites », « perpendiculaires », « même » et « droite », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Afficher le corrigé
Chacune forme un angle droit avec c. Deux droites coplanaires perpendiculaires à une même droite ont donc la même direction.
CONTRÔLE INDÉPENDANTSi a et b se coupaient, un point extérieur à c aurait deux perpendiculaires à c, ce qui est impossible dans le plan euclidien.
6 activités guidées sur « Droites et angles », après le cas autonome.
Dans « Droites et angles », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Reconnaître parallélisme, perpendicularité et mesurer ou construire un angle » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Droites et angles », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Droites et angles » : 4 cas à résoudre, 2 analyses guidées et 1 diagnostic d’erreur. Pour « Droites et angles », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Droites et angles », 1 activité ouverte utilise des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEDeux droites se coupent en formant un angle de 90°. Comment les qualifie-t-on ?
Indice : À partir de « 90° », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Indice : pour le cas 1 de « Droites et angles », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
La perpendicularité est définie par la présence d’un angle droit.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEDeux droites d et d’ sont parallèles à une même droite t. Quelle relation unit d et d’ ?
Indice : À partir de « droites », « parallèles », « même » et « droite », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 2 de « Droites et angles », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEUn angle mesure 128°. Est-il aigu, droit ou obtus ?
Indice : À partir de « 128° », tracez une figure codée, distinguez les données de l’inconnue et vérifiez les conditions avant de choisir la relation.
Indice : pour le cas 3 de « Droites et angles », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
128° est compris entre 90° et 180°.
Contrôle : Le classement se contrôle par les bornes : 128° est supérieur à 90° et inférieur à 180°.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Droites et angles » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — Deux droites se coupent en formant un angle de 90°. Comment les qualifie-t-on ? Cas 2 — Deux droites d et d’ sont parallèles à une même droite t. Quelle relation unit d et d’ ? Pour comparer les deux cas de « Droites et angles », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Droites et angles », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « La perpendicularité est définie par la présence d’un angle droit » tandis que le second repose sur « Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Lire la mauvaise graduation du rapporteur ». Distinguez la dernière étape recevable de la première étape fausse, puis reconstruisez la conclusion.
Indice : À partir de « Lire la mauvaise graduation du rapporteur », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Droites et angles », conservez ce fait — 128° est compris entre 90° et 180° — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Droites et angles » réfute précisément « Lire la mauvaise graduation du rapporteur » en retrouvant « C’est un angle obtus » à partir de l’indice « 128° est compris entre 90° et 180° ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : Un angle mesure 128°. Est-il aigu, droit ou obtus ? Remplacez un élément qui influence réellement la réponse, traitez le cas obtenu et justifiez le contrôle.
Indice : Point de départ — Un angle mesure 128°. Est-il aigu, droit ou obtus ? Pour « Droites et angles », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Droites et angles » parce qu’il conserve l’objectif « Reconnaître parallélisme, perpendicularité et mesurer ou construire un angle. », reprend l’indice « 128° est compris entre 90° et 180°. », isole un seul changement pour « Droites et angles » et se termine par un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Lire la mauvaise graduation du rapporteur.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « parallèle » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « perpendiculaire », puis traitez une variante mobilisant « angle » sans regarder le modèle.
« Droites et angles » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Droites et angles » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
CE1
Dans « Droites et angles », représenter la situation avec des objets, un dessin ou un schéma, effectuer une procédure courte et expliquer le résultat.
Voir le parcours CE1 →CE2
Dans « Droites et angles », choisir l’opération ou la propriété utile, écrire les étapes essentielles et contrôler par estimation ou représentation.
Voir le parcours CE2 →CM1
Dans « Droites et angles », résoudre un problème à plusieurs informations, justifier le choix de la procédure et vérifier par une méthode différente.
Voir le parcours CM1 →CM2
Dans « Droites et angles », passer d’une représentation à une autre, conserver les unités et comparer deux démarches possibles.
Voir le parcours CM2 →6e
Dans « Droites et angles », traduire la situation en calcul, figure ou tableau, nommer la propriété utilisée et contrôler l’ordre de grandeur.
Voir le parcours 6e →5e
Dans « Droites et angles », modéliser avec plusieurs représentations, enchaîner les calculs et expliquer les conditions d’application de la règle.
Voir le parcours 5e →4e
Dans « Droites et angles », rédiger une justification ou une démonstration structurée, puis tester la conclusion sur un cas voisin.
Voir le parcours 4e →3e
Dans « Droites et angles », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →