Construire une symétrie centrale : figure, propriété et démonstration.
Faire du centre le milieu de chaque segment joignant un point à son image, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 3 repères de progression.
Construire une symétrie centrale : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Construire une symétrie centrale », retenez d’abord la règle qui relie « centre » à « milieu ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « image » sans sauter l’étape de vérification.
Faire du centre le milieu de chaque segment joignant un point à son image, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer.
Faire du centre le milieu de chaque segment joignant un point à son image, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin.
O est le milieu de [AA’].
Utiliser une distance à une droite comme en symétrie axiale.
- 01DONNÉEScentre
- 02PROCÉDUREmilieu
- 03CONTRÔLEimage
Le schéma sert de contrôle : partez de « centre », appliquez « milieu », puis vérifiez avec « image ».
Figure de géométrie reliant la règle de Construire une symétrie centrale à un exemple vérifiable. Pour « Construire une symétrie centrale », le dessin isole la relation utile ; la correction détaillée reste la référence pour refaire le raisonnement.
Résoudre « Construire une symétrie centrale » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Construire une symétrie centrale », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, le centre O est le milieu de [AA’] ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « Le point O reste invariant » parce que le centre est son propre symétrique ; il applique ainsi la règle « Faire du centre le milieu de chaque segment joignant un point à son image, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « Par une rotation de 180° autour du centre » ; elle reste vérifiable puisque un demi-tour envoie chaque point sur son symétrique central.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Utiliser une distance à une droite comme en symétrie axiale » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Faire du centre le milieu de chaque segment joignant un point à son image, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin ».
« Construire une symétrie centrale » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Faire du centre le milieu de chaque segment joignant un point à son image, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « Dans une symétrie de centre O, OA = 4 cm. Quelle est la longueur OA’ ? », la réponse est « OA’ = 4 cm » : Le centre O est le milieu de [AA’].
Le cas qui change la décision
Dans « Quel est l’image du centre O par la symétrie de centre O ? », on obtient « Le point O reste invariant » : Le centre est son propre symétrique.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « Par quelle rotation peut-on décrire une symétrie centrale ? » conduit à « Par une rotation de 180° autour du centre » : Un demi-tour envoie chaque point sur son symétrique central. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Utiliser une distance à une droite comme en symétrie axiale ».
Cas corrigé sur « Construire une symétrie centrale » : question, réponse et contrôle.
Pour « Construire une symétrie centrale », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
Dans une symétrie de centre O, OA = 4 cm. Quelle est la longueur OA’ ?
Réponse
OA’ = 4 cm.
Pourquoi cette réponse
Le centre O est le milieu de [AA’]. La vérification conserve donc le même énoncé — « Dans une symétrie de centre O, OA = 4 cm. Quelle est la longueur OA’ ? » — jusqu’à la réponse « OA’ = 4 cm ».
Un cas voisin sur « Construire une symétrie centrale ».
Ce cas applique « Construire une symétrie centrale » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLEDans un repère, A(2 ; −1) a pour image A' par la symétrie de centre O, origine du repère. Donnez les coordonnées de A'.
Indice : À partir de « 2 ; 1 », identifiez la population, l’effectif total et la mesure demandée avant d’effectuer le calcul.
Afficher le corrigé
La symétrie centrale de centre O transforme chaque coordonnée en son opposée ; O est alors le milieu de [AA'].
CONTRÔLE INDÉPENDANTLa moyenne des abscisses vaut (2 − 2) ÷ 2 = 0 et celle des ordonnées (−1 + 1) ÷ 2 = 0.
6 activités guidées sur « Construire une symétrie centrale », après le cas autonome.
Dans « Construire une symétrie centrale », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Faire du centre le milieu de chaque segment joignant un point à son image, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Construire une symétrie centrale », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Construire une symétrie centrale » : 4 cas à résoudre, 2 analyses guidées et 1 diagnostic d’erreur. Pour « Construire une symétrie centrale », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Construire une symétrie centrale », 1 activité ouverte utilise des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEDans une symétrie de centre O, OA = 4 cm. Quelle est la longueur OA’ ?
Indice : À partir de « 4 cm », convertissez d’abord toutes les grandeurs dans une unité commune, puis annoncez l’unité du résultat attendu. Appuyez votre décision sur le verbe de consigne « Dans ».
Indice : pour le cas 1 de « Construire une symétrie centrale », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
Le centre O est le milieu de [AA’].
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEQuel est l’image du centre O par la symétrie de centre O ?
Indice : À partir de « l’image », « centre » et « symétrie », convertissez d’abord toutes les grandeurs dans une unité commune, puis annoncez l’unité du résultat attendu.
Indice : pour le cas 2 de « Construire une symétrie centrale », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Le centre est son propre symétrique.
Contrôle : La distance OO est nulle et O est le milieu de [OO], ce qui satisfait directement la définition.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPar quelle rotation peut-on décrire une symétrie centrale ?
Indice : À partir de « rotation », « peut-on », « décrire » et « symétrie », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 3 de « Construire une symétrie centrale », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
Un demi-tour envoie chaque point sur son symétrique central.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Construire une symétrie centrale » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — Dans une symétrie de centre O, OA = 4 cm. Quelle est la longueur OA’ ? Cas 2 — Quel est l’image du centre O par la symétrie de centre O ? Pour comparer les deux cas de « Construire une symétrie centrale », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Construire une symétrie centrale », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « Le centre O est le milieu de [AA’] » tandis que le second repose sur « Le centre est son propre symétrique » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Utiliser une distance à une droite comme en symétrie axiale ». Arrêtez-vous à la première contradiction avec l’énoncé, corrigez-la et vérifiez la suite.
Indice : À partir de « Utiliser une distance à une droite comme en symétrie axiale », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Construire une symétrie centrale », conservez ce fait — Un demi-tour envoie chaque point sur son symétrique central — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Construire une symétrie centrale » réfute précisément « Utiliser une distance à une droite comme en symétrie axiale » en retrouvant « Par une rotation de 180° autour du centre » à partir de l’indice « Un demi-tour envoie chaque point sur son symétrique central ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : Par quelle rotation peut-on décrire une symétrie centrale ? Choisissez une seule donnée à modifier, expliquez son effet sur la procédure et contrôlez la conclusion.
Indice : Point de départ — Par quelle rotation peut-on décrire une symétrie centrale ? Pour « Construire une symétrie centrale », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Construire une symétrie centrale » parce qu’il conserve l’objectif « Faire du centre le milieu de chaque segment joignant un point à son image, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer. », reprend l’indice « Un demi-tour envoie chaque point sur son symétrique central. », isole un seul changement pour « Construire une symétrie centrale » et se termine par un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Utiliser une distance à une droite comme en symétrie axiale.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « centre » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « milieu », puis traitez une variante mobilisant « image » sans regarder le modèle.
« Construire une symétrie centrale » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Construire une symétrie centrale » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
5e
Dans « Construire une symétrie centrale », modéliser avec plusieurs représentations, enchaîner les calculs et expliquer les conditions d’application de la règle.
Voir le parcours 5e →4e
Dans « Construire une symétrie centrale », rédiger une justification ou une démonstration structurée, puis tester la conclusion sur un cas voisin.
Voir le parcours 4e →3e
Dans « Construire une symétrie centrale », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →