Comprendre la racine carrée : représenter, comparer et calculer.
Interpréter une racine carrée, reconnaître les carrés parfaits et contrôler le résultat par élévation au carré ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 2 repères de progression.
Comprendre la racine carrée : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Comprendre la racine carrée », retenez d’abord la règle qui relie « racine carrée » à « carré ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « nombre positif » sans sauter l’étape de vérification.
Interpréter une racine carrée, reconnaître les carrés parfaits et contrôler le résultat par élévation au carré.
La racine carrée d’un nombre positif est l’unique nombre positif dont le carré redonne ce nombre.
√81 = 9 car 9² = 81.
Confondre √(a+b) avec √a + √b.
- 01DONNÉESracine carrée
- 02PROCÉDUREcarré
- 03CONTRÔLEnombre positif
Le schéma sert de contrôle : partez de « racine carrée », appliquez « carré », puis vérifiez avec « nombre positif ».
Figure de nombres reliant la règle de Comprendre la racine carrée à un exemple vérifiable. Pour « Comprendre la racine carrée », le dessin isole la relation utile ; la correction détaillée reste la référence pour refaire le raisonnement.
Résoudre « Comprendre la racine carrée » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Comprendre la racine carrée », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, 9 est le nombre positif dont le carré vaut 81 ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « 7 < √50 < 8 » parce que 7² = 49 et 8² = 64 ; il applique ainsi la règle « La racine carrée d’un nombre positif est l’unique nombre positif dont le carré redonne ce nombre ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « √75 = 5√3 » ; elle reste vérifiable puisque le facteur carré parfait 25 peut être extrait de la racine.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Confondre √(a+b) avec √a + √b » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « La racine carrée d’un nombre positif est l’unique nombre positif dont le carré redonne ce nombre ».
« Comprendre la racine carrée » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Interpréter une racine carrée, reconnaître les carrés parfaits et contrôler le résultat par élévation au carré » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « Calculez √81. », la réponse est « √81 = 9 » : 9 est le nombre positif dont le carré vaut 81.
Le cas qui change la décision
Dans « Entre quels entiers consécutifs se trouve √50 ? », on obtient « 7 < √50 < 8 » : 7² = 49 et 8² = 64.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « Simplifiez √(25 × 3). » conduit à « √75 = 5√3 » : Le facteur carré parfait 25 peut être extrait de la racine. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Confondre √(a+b) avec √a + √b ».
Cas corrigé sur « Comprendre la racine carrée » : question, réponse et contrôle.
Pour « Comprendre la racine carrée », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
Calculez √81.
Réponse
√81 = 9.
Pourquoi cette réponse
9 est le nombre positif dont le carré vaut 81. La vérification conserve donc le même énoncé — « Calculez √81. » — jusqu’à la réponse « √81 = 9 ».
Un cas voisin sur « Comprendre la racine carrée ».
Ce cas applique « Comprendre la racine carrée » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLECalculez √196 puis vérifiez le résultat par élévation au carré.
Indice : À partir de « 196 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Afficher le corrigé
La racine carrée de 196 est le nombre positif dont le carré vaut 196 ; or 14 × 14 = 196.
CONTRÔLE INDÉPENDANTL'encadrement 13² = 169 < 196 < 225 = 15² confirme aussi que la racine se situe entre 13 et 15.
6 activités guidées sur « Comprendre la racine carrée », après le cas autonome.
Dans « Comprendre la racine carrée », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Interpréter une racine carrée, reconnaître les carrés parfaits et contrôler le résultat par élévation au carré » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Comprendre la racine carrée », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Comprendre la racine carrée » : 4 cas à résoudre, 2 analyses guidées et 1 diagnostic d’erreur. Pour « Comprendre la racine carrée », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Comprendre la racine carrée », 1 activité ouverte utilise des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLECalculez √81.
Indice : À partir de « 81 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 1 de « Comprendre la racine carrée », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
9 est le nombre positif dont le carré vaut 81.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEEntre quels entiers consécutifs se trouve √50 ?
Indice : À partir de « 50 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 2 de « Comprendre la racine carrée », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
7² = 49 et 8² = 64.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLESimplifiez √(25 × 3).
Indice : À partir de « 25 ; 3 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 3 de « Comprendre la racine carrée », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
Le facteur carré parfait 25 peut être extrait de la racine.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Comprendre la racine carrée » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — Calculez √81. Cas 2 — Entre quels entiers consécutifs se trouve √50 ? Pour comparer les deux cas de « Comprendre la racine carrée », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Comprendre la racine carrée », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « 9 est le nombre positif dont le carré vaut 81 » tandis que le second repose sur « 7² = 49 et 8² = 64 » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Confondre √(a+b) avec √a + √b ». Relevez la donnée ignorée par cette démarche, corrigez l’étape concernée et contrôlez la nouvelle réponse.
Indice : À partir de « Confondre √(a+b) avec √a + √b », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Comprendre la racine carrée », conservez ce fait — Le facteur carré parfait 25 peut être extrait de la racine — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Comprendre la racine carrée » réfute précisément « Confondre √(a+b) avec √a + √b » en retrouvant « √75 = 5√3 » à partir de l’indice « Le facteur carré parfait 25 peut être extrait de la racine ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : Simplifiez √(25 × 3). Faites évoluer une seule donnée sans changer la compétence visée, puis comparez la nouvelle réponse à l’ancienne.
Indice : Point de départ — Simplifiez √(25 × 3). Pour « Comprendre la racine carrée », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Comprendre la racine carrée » parce qu’il conserve l’objectif « Interpréter une racine carrée, reconnaître les carrés parfaits et contrôler le résultat par élévation au carré. », reprend l’indice « Le facteur carré parfait 25 peut être extrait de la racine. », isole un seul changement pour « Comprendre la racine carrée » et se termine par un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Confondre √(a+b) avec √a + √b.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « racine carrée » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « carré », puis traitez une variante mobilisant « nombre positif » sans regarder le modèle.
« Comprendre la racine carrée » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Comprendre la racine carrée » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
4e
Dans « Comprendre la racine carrée », rédiger une justification ou une démonstration structurée, puis tester la conclusion sur un cas voisin.
Voir le parcours 4e →3e
Dans « Comprendre la racine carrée », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →