Reconnaître multiples et diviseurs : représenter, comparer et calculer.
Relier division exacte, critères de divisibilité et décomposition, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 4 repères de progression.
Reconnaître multiples et diviseurs : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Reconnaître multiples et diviseurs », retenez d’abord la règle qui relie « multiple » à « diviseur ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « divisibilité » sans sauter l’étape de vérification.
Relier division exacte, critères de divisibilité et décomposition, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée.
Relier division exacte, critères de divisibilité et décomposition, puis vérifier le résultat par une méthode indépendante du premier calcul.
42 est multiple de 6 et 6 est diviseur de 42.
Inverser les mots multiple et diviseur.
- 01DONNÉESmultiple
- 02PROCÉDUREdiviseur
- 03CONTRÔLEdivisibilité
Le schéma sert de contrôle : partez de « multiple », appliquez « diviseur », puis vérifiez avec « divisibilité ».
Figure de nombres reliant la règle de Reconnaître multiples et diviseurs à un exemple vérifiable. Pour « Reconnaître multiples et diviseurs », le dessin isole la relation utile ; la correction détaillée reste la référence pour refaire le raisonnement.
Résoudre « Reconnaître multiples et diviseurs » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Reconnaître multiples et diviseurs », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, un multiple de 7 s’écrit comme le produit de 7 par un entier ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « 1, 2, 3, 6, 9 et 18 » parce que chacun divise 18 avec un quotient entier ; il applique ainsi la règle « Relier division exacte, critères de divisibilité et décomposition, puis vérifier le résultat par une méthode indépendante du premier calcul ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « Le PPCM de 6 et 8 est 24 » ; elle reste vérifiable puisque 24 apparaît dans les deux listes de multiples et aucun multiple commun positif plus petit n’existe.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Inverser les mots multiple et diviseur » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Relier division exacte, critères de divisibilité et décomposition, puis vérifier le résultat par une méthode indépendante du premier calcul ».
« Reconnaître multiples et diviseurs » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Relier division exacte, critères de divisibilité et décomposition, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « 84 est-il un multiple de 7 ? », la réponse est « Oui, car 84 = 7 × 12 » : Un multiple de 7 s’écrit comme le produit de 7 par un entier.
Le cas qui change la décision
Dans « Listez les diviseurs positifs de 18. », on obtient « 1, 2, 3, 6, 9 et 18 » : Chacun divise 18 avec un quotient entier.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « Quel est le plus petit multiple commun positif de 6 et 8 ? » conduit à « Le PPCM de 6 et 8 est 24 » : 24 apparaît dans les deux listes de multiples et aucun multiple commun positif plus petit n’existe. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Inverser les mots multiple et diviseur ».
Cas corrigé sur « Reconnaître multiples et diviseurs » : question, réponse et contrôle.
Pour « Reconnaître multiples et diviseurs », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
84 est-il un multiple de 7 ?
Réponse
Oui, car 84 = 7 × 12.
Pourquoi cette réponse
Un multiple de 7 s’écrit comme le produit de 7 par un entier. La vérification conserve donc le même énoncé — « 84 est-il un multiple de 7 ? » — jusqu’à la réponse « Oui, car 84 = 7 × 12 ».
Un cas voisin sur « Reconnaître multiples et diviseurs ».
Ce cas applique « Reconnaître multiples et diviseurs » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLEDéterminez si 126 est divisible par 2, par 3 et par 5, en justifiant chaque réponse.
Indice : À partir de « 126 ; 2 ; 3 ; 5 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Afficher le corrigé
Son chiffre des unités est pair, donc 126 est divisible par 2. La somme 1 + 2 + 6 = 9 est multiple de 3. Il ne se termine ni par 0 ni par 5.
CONTRÔLE INDÉPENDANTOn vérifie 126 = 2 × 63 = 3 × 42, tandis que 126 ÷ 5 ne donne pas un entier.
6 activités guidées sur « Reconnaître multiples et diviseurs », après le cas autonome.
Dans « Reconnaître multiples et diviseurs », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Relier division exacte, critères de divisibilité et décomposition, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Reconnaître multiples et diviseurs », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Reconnaître multiples et diviseurs » : 4 cas à résoudre, 2 analyses guidées et 1 diagnostic d’erreur. Pour « Reconnaître multiples et diviseurs », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Reconnaître multiples et diviseurs », 1 activité ouverte utilise des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLE84 est-il un multiple de 7 ?
Indice : À partir de « 84 ; 7 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 1 de « Reconnaître multiples et diviseurs », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
Un multiple de 7 s’écrit comme le produit de 7 par un entier.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEListez les diviseurs positifs de 18.
Indice : À partir de « 18 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse. Appuyez votre décision sur le verbe de consigne « Listez ».
Indice : pour le cas 2 de « Reconnaître multiples et diviseurs », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Chacun divise 18 avec un quotient entier.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEQuel est le plus petit multiple commun positif de 6 et 8 ?
Indice : À partir de « 6 ; 8 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 3 de « Reconnaître multiples et diviseurs », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
24 apparaît dans les deux listes de multiples et aucun multiple commun positif plus petit n’existe.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Reconnaître multiples et diviseurs » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — 84 est-il un multiple de 7 ? Cas 2 — Listez les diviseurs positifs de 18. Pour comparer les deux cas de « Reconnaître multiples et diviseurs », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Reconnaître multiples et diviseurs », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « Un multiple de 7 s’écrit comme le produit de 7 par un entier » tandis que le second repose sur « Chacun divise 18 avec un quotient entier » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Inverser les mots multiple et diviseur ». Comparez la démarche aux informations disponibles, signalez le premier écart et rétablissez le raisonnement.
Indice : À partir de « Inverser les mots multiple et diviseur », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Reconnaître multiples et diviseurs », conservez ce fait — 24 apparaît dans les deux listes de multiples et aucun multiple commun positif plus petit n’existe — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Reconnaître multiples et diviseurs » réfute précisément « Inverser les mots multiple et diviseur » en retrouvant « Le PPCM de 6 et 8 est 24 » à partir de l’indice « 24 apparaît dans les deux listes de multiples et aucun multiple commun positif plus petit n’existe ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : Quel est le plus petit multiple commun positif de 6 et 8 ? Gardez la même règle mais changez une information utile ; donnez ensuite la réponse et sa vérification.
Indice : Point de départ — Quel est le plus petit multiple commun positif de 6 et 8 ? Pour « Reconnaître multiples et diviseurs », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Reconnaître multiples et diviseurs » parce qu’il conserve l’objectif « Relier division exacte, critères de divisibilité et décomposition, avec une conclusion cohérente, argumentée et correctement exprimée. », reprend l’indice « 24 apparaît dans les deux listes de multiples et aucun multiple commun positif plus petit n’existe. », isole un seul changement pour « Reconnaître multiples et diviseurs » et se termine par un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Inverser les mots multiple et diviseur.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « multiple » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « diviseur », puis traitez une variante mobilisant « divisibilité » sans regarder le modèle.
« Reconnaître multiples et diviseurs » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Reconnaître multiples et diviseurs » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
6e
Dans « Reconnaître multiples et diviseurs », traduire la situation en calcul, figure ou tableau, nommer la propriété utilisée et contrôler l’ordre de grandeur.
Voir le parcours 6e →5e
Dans « Reconnaître multiples et diviseurs », modéliser avec plusieurs représentations, enchaîner les calculs et expliquer les conditions d’application de la règle.
Voir le parcours 5e →4e
Dans « Reconnaître multiples et diviseurs », rédiger une justification ou une démonstration structurée, puis tester la conclusion sur un cas voisin.
Voir le parcours 4e →3e
Dans « Reconnaître multiples et diviseurs », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →