Division : procédure, exercices et vérification.
Partager ou grouper, calculer un quotient et interpréter correctement un reste ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 5 repères de progression.
Division : ce qu’il faut retenir.
Partager ou grouper, calculer un quotient et interpréter correctement un reste. La règle, l’exemple et l’erreur fréquente ci-dessous permettent de décider avant de calculer ou de rédiger.
Partager ou grouper, calculer un quotient et interpréter correctement un reste.
Dans une division euclidienne : dividende = diviseur × quotient + reste, avec 0 ≤ reste < diviseur.
157 = 12 × 13 + 1 : le quotient est 13 et le reste 1.
Accepter un reste supérieur ou égal au diviseur, ou oublier de l’interpréter dans le contexte.
- 01DONNÉESDivision
- 02PROCÉDUREexemple
- 03CONTRÔLEcontrôle
Le schéma sert de contrôle : partez de « Division », appliquez « exemple », puis vérifiez avec « contrôle ».
Figure de calcul reliant la règle de Division à un exemple vérifiable. Pour « Division », le dessin isole la relation utile ; la correction détaillée reste la référence pour refaire le raisonnement.
Estimer le quotient, effectuer la division puis reconstruire le dividende.
Pour « Division », la méthode relie l’indice de départ, la règle utilisée, la réponse et un contrôle distinct.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, le reste est inférieur au diviseur et la reconstruction redonne 157 ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « 248 ÷ 8 = 31 autocollants par élève » parce que le contrôle 31 × 8 = 248 montre qu’il ne reste aucun autocollant ; il applique ainsi la règle « Dans une division euclidienne : dividende = diviseur × quotient + reste, avec 0 ≤ reste < diviseur ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « 365 = 24 × 15 + 5 : 15 rangées complètes et 5 chaises restantes » ; elle reste vérifiable puisque une seizième rangée demanderait 384 chaises ; le reste 5 est inférieur à 24.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Accepter un reste supérieur ou égal au diviseur, ou oublier de l’interpréter dans le contexte » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Dans une division euclidienne : dividende = diviseur × quotient + reste, avec 0 ≤ reste < diviseur ».
« Division » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Partager ou grouper, calculer un quotient et interpréter correctement un reste » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « Effectuez la division euclidienne de 157 par 12. », la réponse est « 157 = 12 × 13 + 1 : quotient 13, reste 1 » : Le reste est inférieur au diviseur et la reconstruction redonne 157.
Le cas qui change la décision
Dans « On partage équitablement 248 autocollants entre 8 élèves. Combien chacun en reçoit-il ? », on obtient « 248 ÷ 8 = 31 autocollants par élève » : Le contrôle 31 × 8 = 248 montre qu’il ne reste aucun autocollant.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « On range 365 chaises par rangées de 24. Combien de rangées complètes peut-on former et combien de chaises restent ? » conduit à « 365 = 24 × 15 + 5 : 15 rangées complètes et 5 chaises restantes » : Une seizième rangée demanderait 384 chaises ; le reste 5 est inférieur à 24. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Accepter un reste supérieur ou égal au diviseur, ou oublier de l’interpréter dans le contexte ».
Cas corrigé sur « Division » : question, réponse et contrôle.
Pour « Division », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Comprendre la demande
Effectuez la division euclidienne de 157 par 12.
Résoudre sans saut logique
157 = 12 × 13 + 1 : quotient 13, reste 1.
Contrôler la conclusion
Le reste est inférieur au diviseur et la reconstruction redonne 157. La vérification conserve donc le même énoncé — « Effectuez la division euclidienne de 157 par 12. » — jusqu’à la réponse « 157 = 12 × 13 + 1 : quotient 13, reste 1 ».
Un cas voisin sur « Division ».
Ce cas applique « Division » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLEOn range 542 livres dans des cartons de 25. Combien de cartons pleins obtient-on et combien de livres restent ?
Indice : À partir de « 542 ; 25 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Afficher le corrigé
25 × 21 = 525 et 542 − 525 = 17. Un vingt-deuxième carton demanderait 550 livres, donc il ne peut pas être plein.
CONTRÔLE INDÉPENDANTL'égalité 542 = 25 × 21 + 17 est correcte et le reste 17 est bien inférieur au diviseur 25.
6 activités guidées sur « Division », après le cas autonome.
Dans « Division », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Partager ou grouper, calculer un quotient et interpréter correctement un reste » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Division », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Division » : 6 cas à résoudre et 1 problème à étapes. Pour « Division », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1RÉPONSE UNIQUEEffectuez la division euclidienne de 157 par 12.
Indice : À partir de « 157 ; 12 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 1 de « Division », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
Le reste est inférieur au diviseur et la reconstruction redonne 157.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · PARTAGER · NIVEAU 1RÉPONSE UNIQUEOn partage équitablement 248 autocollants entre 8 élèves. Combien chacun en reçoit-il ?
Indice : À partir de « 248 ; 8 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 2 de « Division », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Le contrôle 31 × 8 = 248 montre qu’il ne reste aucun autocollant.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · GROUPER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEOn range 365 chaises par rangées de 24. Combien de rangées complètes peut-on former et combien de chaises restent ?
Indice : À partir de « 365 ; 24 », nommez la grandeur cherchée, écrivez la relation avant de remplacer les données, puis contrôlez par estimation ou opération inverse.
Indice : pour le cas 3 de « Division », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
Une seizième rangée demanderait 384 chaises ; le reste 5 est inférieur à 24.
Continuer avec l’activité suivante →04CAS À RÉSOUDRE · CALCULER · NIVEAU 2RÉPONSE UNIQUECalculez 7,5 ÷ 3.
Indice : Cherchez le nombre qui, multiplié par 3, redonne 7,5.
2,5 × 3 = 7,5 ; le contrôle inverse est exact.
Continuer avec l’activité suivante →05CAS À RÉSOUDRE · VÉRIFIER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEOn annonce que 947 ÷ 35 donne 27 reste 2. Cette réponse est-elle correcte ?
Indice : Reconstruisez le dividende avec diviseur × quotient + reste.
Le reste 2 est compris entre 0 et 34, donc les deux conditions sont satisfaites.
Continuer avec l’activité suivante →06PROBLÈME À ÉTAPES · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CORRIGÉ MODÈLEUn cycliste parcourt 84 km en 1,5 h à vitesse constante. Quelle est sa vitesse moyenne ?
Indice : Divisez la distance par la durée en heures.
Le contrôle 56 × 1,5 = 84 relie correctement distance, durée et vitesse.
Faire le point sur la progression →Accepter un reste supérieur ou égal au diviseur, ou oublier de l’interpréter dans le contexte.
Distinguer une situation de partage d’une situation de groupement et repérer l’unité du quotient. Pour corriger l’erreur, appliquez ce test : Pour 157 ÷ 12, 12 × 13 + 1 = 157 et le reste 1 est bien inférieur à 12.
« Division » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Division » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
CE2
Dans « Division », choisir l’opération ou la propriété utile, écrire les étapes essentielles et contrôler par estimation ou représentation.
Voir le parcours CE2 →CM1
Dans « Division », résoudre un problème à plusieurs informations, justifier le choix de la procédure et vérifier par une méthode différente.
Voir le parcours CM1 →CM2
Dans « Division », passer d’une représentation à une autre, conserver les unités et comparer deux démarches possibles.
Voir le parcours CM2 →6e
Dans « Division », traduire la situation en calcul, figure ou tableau, nommer la propriété utilisée et contrôler l’ordre de grandeur.
Voir le parcours 6e →5e
Dans « Division », modéliser avec plusieurs représentations, enchaîner les calculs et expliquer les conditions d’application de la règle.
Voir le parcours 5e →