Comprendre cercle et disque : figure, propriété et démonstration.
Distinguer ensemble des points à distance fixe et surface intérieure, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer ; la fiche associe une réponse directe, un cas analysé, 7 activités corrigées et 8 repères de progression.
Comprendre cercle et disque : ce qu’il faut retenir.
Pour maîtriser « Comprendre cercle et disque », retenez d’abord la règle qui relie « centre » à « rayon ». Le cas repère montre ensuite comment utiliser « diamètre » sans sauter l’étape de vérification.
Distinguer ensemble des points à distance fixe et surface intérieure, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer.
Distinguer ensemble des points à distance fixe et surface intérieure, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin.
Un point du cercle est à une distance égale au rayon du centre.
Employer cercle et disque comme synonymes.
- 01DONNÉEScentre
- 02PROCÉDURErayon
- 03CONTRÔLEdiamètre
Le schéma sert de contrôle : partez de « centre », appliquez « rayon », puis vérifiez avec « diamètre ».
Le cercle est la frontière ; le disque comprend toute la surface intérieure.
Résoudre « Comprendre cercle et disque » : données, règle, étapes et contrôle.
Pour « Comprendre cercle et disque », la méthode relie chaque donnée à la règle, à la réponse puis à un contrôle capable de révéler une erreur.
- 01
Donner un rôle aux données
Dans le premier cas, le diamètre est égal à deux rayons ; cet indice fixe le rôle des données avant tout calcul.
- 02
Justifier l’opération
Le cas suivant conduit à « M appartient au cercle » parce que tous les points du cercle sont à une distance du centre égale au rayon ; il applique ainsi la règle « Distinguer ensemble des points à distance fixe et surface intérieure, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin ».
- 03
Rendre le résultat vérifiable
La réponse au troisième cas est « A = π × 3² = 9π ≈ 28,3 cm² » ; elle reste vérifiable puisque l’aire du disque est πr² et non 2πr.
- 04
Réfuter la fausse piste
La piste « Employer cercle et disque comme synonymes » échoue ici, car elle ne respecte pas la règle « Distinguer ensemble des points à distance fixe et surface intérieure, vérifier les hypothèses de la propriété et rédiger une conclusion qui ne repose pas sur l’apparence du dessin ».
« Comprendre cercle et disque » : relier les données, l’opération et le contrôle.
L’objectif est « Distinguer ensemble des points à distance fixe et surface intérieure, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer » : les trois situations ci-dessous montrent quelle donnée déclenche la décision, ce qui change d’un cas à l’autre et comment contrôler la conclusion.
La règle sur un cas simple
À la question « Un cercle a un rayon de 4 cm. Quel est son diamètre ? », la réponse est « Le diamètre vaut 2 × 4 = 8 cm » : Le diamètre est égal à deux rayons.
Le cas qui change la décision
Dans « Un point M est situé à 5 cm du centre O d’un cercle de rayon 5 cm. Où se trouve M ? », on obtient « M appartient au cercle » : Tous les points du cercle sont à une distance du centre égale au rayon.
La limite qui révèle la maîtrise
Le cas « Calculez l’aire d’un disque de rayon 3 cm, au dixième près. » conduit à « A = π × 3² = 9π ≈ 28,3 cm² » : L’aire du disque est πr² et non 2πr. Il permet aussi d’écarter l’erreur « Employer cercle et disque comme synonymes ».
Cas corrigé sur « Comprendre cercle et disque » : question, réponse et contrôle.
Pour « Comprendre cercle et disque », ce cas reprend mot pour mot la première activité : ses données, sa réponse et sa preuve restent dans le même bloc vérifiable.
Question
Un cercle a un rayon de 4 cm. Quel est son diamètre ?
Réponse
Le diamètre vaut 2 × 4 = 8 cm.
Pourquoi cette réponse
Le diamètre est égal à deux rayons. La vérification conserve donc le même énoncé — « Un cercle a un rayon de 4 cm. Quel est son diamètre ? » — jusqu’à la réponse « Le diamètre vaut 2 × 4 = 8 cm ».
Un cas voisin sur « Comprendre cercle et disque ».
Ce cas applique « Comprendre cercle et disque » dans une situation différente : produisez la réponse, justifiez-la, puis utilisez le contrôle indépendant.
À FAIRE SANS MODÈLEUn disque a un diamètre de 10 cm. Calculez son aire au dixième près avec π ≈ 3,14.
Indice : À partir de « 10 cm ; 3,14 », convertissez d’abord toutes les grandeurs dans une unité commune, puis annoncez l’unité du résultat attendu.
Afficher le corrigé
Le rayon vaut 10 ÷ 2 = 5 cm. Ainsi A = π × r² ≈ 3,14 × 25 = 78,5 cm².
CONTRÔLE INDÉPENDANTUn carré de côté 10 cm a une aire de 100 cm² : l'aire du disque inscrit doit être plus petite, ce qui est bien le cas.
6 activités guidées sur « Comprendre cercle et disque », après le cas autonome.
Dans « Comprendre cercle et disque », les 6 activités ci-dessous passent de l’application à la justification, puis au transfert, afin de vérifier l’objectif « Distinguer ensemble des points à distance fixe et surface intérieure, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer » ; chaque carte annonce séparément la tâche et le mode de correction. Avec le cas autonome consacré à « Comprendre cercle et disque », la fiche totalise 7 activités corrigées.
Composition de la fiche « Comprendre cercle et disque » : 4 cas à résoudre, 2 analyses guidées et 1 diagnostic d’erreur. Pour « Comprendre cercle et disque », cette composition distingue la tâche demandée du mode de correction. Pour « Comprendre cercle et disque », 1 activité ouverte utilise des critères de réussite plutôt qu’une réponse arbitrairement unique.
01CAS À RÉSOUDRE · APPLIQUER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEUn cercle a un rayon de 4 cm. Quel est son diamètre ?
Indice : À partir de « 4 cm », convertissez d’abord toutes les grandeurs dans une unité commune, puis annoncez l’unité du résultat attendu.
Indice : pour le cas 1 de « Comprendre cercle et disque », notez ce qui est connu, ce qui est demandé et l’unité attendue avant de calculer.
Le diamètre est égal à deux rayons.
Continuer avec l’activité suivante →02CAS À RÉSOUDRE · RAISONNER · NIVEAU 1CORRIGÉ MODÈLEUn point M est situé à 5 cm du centre O d’un cercle de rayon 5 cm. Où se trouve M ?
Indice : À partir de « 5 cm », convertissez d’abord toutes les grandeurs dans une unité commune, puis annoncez l’unité du résultat attendu.
Indice : pour le cas 2 de « Comprendre cercle et disque », justifiez l’opération ou la propriété avant de remplacer les données par des nombres.
Tous les points du cercle sont à une distance du centre égale au rayon.
Continuer avec l’activité suivante →03CAS À RÉSOUDRE · APPROFONDIR · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLECalculez l’aire d’un disque de rayon 3 cm, au dixième près.
Indice : À partir de « 3 cm », convertissez d’abord toutes les grandeurs dans une unité commune, puis annoncez l’unité du résultat attendu.
Indice : pour le cas 3 de « Comprendre cercle et disque », préparez un contrôle indépendant par estimation, opération inverse ou seconde représentation.
L’aire du disque est πr² et non 2πr.
Continuer avec l’activité suivante →04ANALYSE GUIDÉE · COMPARER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEAnalysez séparément les cas 1 et 2 sur « Comprendre cercle et disque » : donnez chaque réponse, relevez l’indice décisif et expliquez le point commun.
Indice : Cas 1 — Un cercle a un rayon de 4 cm. Quel est son diamètre ? Cas 2 — Un point M est situé à 5 cm du centre O d’un cercle de rayon 5 cm. Où se trouve M ? Pour comparer les deux cas de « Comprendre cercle et disque », traitez les énoncés séparément : aucune donnée ne doit passer de l’un à l’autre.
Pour « Comprendre cercle et disque », la comparaison est vérifiable parce que le premier cas repose sur « Le diamètre est égal à deux rayons » tandis que le second repose sur « Tous les points du cercle sont à une distance du centre égale au rayon » ; les deux réponses ne partagent que la règle explicitement formulée.
Continuer avec l’activité suivante →05DIAGNOSTIC D’ERREUR · CORRIGER · NIVEAU 2CORRIGÉ MODÈLEPour le troisième cas ci-dessous, testez la démarche « Employer cercle et disque comme synonymes ». Expliquez précisément pourquoi cette procédure échoue ici, puis proposez une réponse compatible avec l’énoncé.
Indice : À partir de « Employer cercle et disque comme synonymes », recalculez le cas avec ses propres données et repérez la première relation ou égalité qui cesse d’être vraie. Corrigez cette étape avant de vérifier la conclusion.
Indice : dans le troisième cas de « Comprendre cercle et disque », conservez ce fait — L’aire du disque est πr² et non 2πr — puis localisez la première décision qui le contredit.
Le diagnostic de « Comprendre cercle et disque » réfute précisément « Employer cercle et disque comme synonymes » en retrouvant « A = π × 3² = 9π ≈ 28,3 cm² » à partir de l’indice « L’aire du disque est πr² et non 2πr ».
Continuer avec l’activité suivante →06ANALYSE GUIDÉE · TRANSFÉRER · NIVEAU 3CRITÈRES DE RÉUSSITEVariez ce troisième cas : Calculez l’aire d’un disque de rayon 3 cm, au dixième près. Proposez un cas voisin avec une modification unique, résolvez-le et testez sa cohérence.
Indice : Point de départ — Calculez l’aire d’un disque de rayon 3 cm, au dixième près. Pour « Comprendre cercle et disque », conservez l’objectif et la règle de ce cas, puis isolez l’unique élément à modifier et le contrôle capable d’en mesurer l’effet.
Le contrôle reste lié à « Comprendre cercle et disque » parce qu’il conserve l’objectif « Distinguer ensemble des points à distance fixe et surface intérieure, puis distinguer ce que la figure montre de ce que les hypothèses permettent de démontrer. », reprend l’indice « L’aire du disque est πr² et non 2πr. », isole un seul changement pour « Comprendre cercle et disque » et se termine par un contrôle indépendant.
Faire le point sur la progression →Employer cercle et disque comme synonymes.
Pour reprendre cette notion, localisez d’abord l’endroit exact où « centre » n’est plus relié à la règle. Corrigez cette seule décision, expliquez-la avec « rayon », puis traitez une variante mobilisant « diamètre » sans regarder le modèle.
« Comprendre cercle et disque » : des exigences adaptées à chaque niveau.
Les repères ci-dessous montrent comment « Comprendre cercle et disque » passe de la reconnaissance à l’application, à la justification puis au transfert selon le niveau.
CE1
Dans « Comprendre cercle et disque », représenter la situation avec des objets, un dessin ou un schéma, effectuer une procédure courte et expliquer le résultat.
Voir le parcours CE1 →CE2
Dans « Comprendre cercle et disque », choisir l’opération ou la propriété utile, écrire les étapes essentielles et contrôler par estimation ou représentation.
Voir le parcours CE2 →CM1
Dans « Comprendre cercle et disque », résoudre un problème à plusieurs informations, justifier le choix de la procédure et vérifier par une méthode différente.
Voir le parcours CM1 →CM2
Dans « Comprendre cercle et disque », passer d’une représentation à une autre, conserver les unités et comparer deux démarches possibles.
Voir le parcours CM2 →6e
Dans « Comprendre cercle et disque », traduire la situation en calcul, figure ou tableau, nommer la propriété utilisée et contrôler l’ordre de grandeur.
Voir le parcours 6e →5e
Dans « Comprendre cercle et disque », modéliser avec plusieurs représentations, enchaîner les calculs et expliquer les conditions d’application de la règle.
Voir le parcours 5e →4e
Dans « Comprendre cercle et disque », rédiger une justification ou une démonstration structurée, puis tester la conclusion sur un cas voisin.
Voir le parcours 4e →3e
Dans « Comprendre cercle et disque », combiner la notion avec un autre outil du programme, argumenter le choix du modèle et discuter la vraisemblance du résultat.
Voir le parcours 3e →